Opt_book_1

С другой стороны, в силу строгой допустимости найдется точка x¹ 2 X такая, что x¹ 2 K0 = intK. Но

Так как длина вектора v в (3.4.44) не столь важна, то не умаляя общности можно считать, что u0 = 1. Кроме того, компоненты вектора u могут иметь произвольный знак, поэтому, заменяя u на ¡u, получаем из (3.4.44), что v = c ¡ AT u. Подставляя данное v в (3.4.45) и учитывая, что Ax = b для всех x 2 M, приходим к неравенству:

hc ¡ AT u; xi = hc; xi ¡ hu; Axi = hc; xi ¡ hu; bi · f¤ ¡ hb; ui · 0:

Таким образом, u и v принадлежат допустимому множеству двойственной задачи (3.4.41) и hb; ui ¸ f¤. Следовательно, w = [u; v] есть решение двойственной задачи (3.4.41). Для задач (3.4.38) и (3.4.41) имеет место совершенная двойственность, т.е. f¤ = Á¤.

Осталось рассмотреть случай, когда c 2 L. Но тогда c = A¸ для некоторого ¸ 2 Rm. Поэтому для любого x 2 X имеем:

hc; xi = hAT ¸; xi = h¸; Axi = h¸; bi ´ c 8x 2 X;

где c некоторая константа. Понятно, что в этом случае f¤ = с и X¤ = X.

Возьмем в качестве u вектор ¸. Тогда v = c ¡ AT u = c ¡ AT ¸ = 0n. Поэтому тривиальным образом v 2 K¤. Кроме того, справедливо равенство:

hb; ui = hb; ¸i = hAx; ¸i = hx; AT ¸i = hc; xi = c;

где x 2 X. Отсюда приходим к выводу, что u = ¸ вместе с v = 0n являются оптимальными решениями двойственной задачи (3.4.41). ¥

Аналогом теоремы 3.4.7 для прямой задачи конического программирования (3.4.38) является следующий результат, в котором приводятся достаточные условия существования ее решения. Как

и в случае прямой задачи мы скажем, что двойственная задача (3.4.41) строго допустима, если intK¤ 6= ; и существуют такие u 2 Rm и v 2 intK¤, что v = c ¡ AT u.

Теорема 3.4.8. Пусть двойственная задача (3.4.41) строго допустима и двойственная функция Á(w) ограничена сверху на W0. Тогда прямая задача имеет решение x¤ 2 X и hc; x¤i = f¤ = Á¤.

Наряду с задачей конического программирования в канонической форме (3.4.38) можно рассмотреть также задачу конического программирования в основной форме:

где K заостренный замкнутый выпуклый конус в Rm, имеющий непустую внутренность. Отметим, что полученная ранее двойственная задача (3.4.41) также может быть представлена в такой форме. Исключая переменную v, приходим к

остаются справедливыми достаточные условия, гарантирующие существование решения. Например, если двойственная задача строго допустима, т.е. AT u = c для некоторого u 2 intK¤, и целевая функция hb; ui ограничена сверху на допустимом множестве, то прямая задача (3.4.46) обязательно имеет решение, при этом прямая и двойственная задачи связаны соотношением совершенной двойственности.

Одним из важнейших примеров задач конического программирования (3.4.46) являются задачи, в которых в качестве конуса K в Rm используется квадратичный конус (конус Лоренца):

½ q ¾

K = y 2 Rm : ym ¸ y12 + ¢ ¢ ¢ + ym2 ¡1 :

Для такого конуса задачу (3.4.46) можно представить в несколько ином виде. Пусть ai i-я строка матрицы A. Тогда (3.4.46) сводится к следующей

Так как квадратичный конус является самосопряженным, то двойственная задача к (3.4.48) заключается в нахождении

hb; ui ! max

AT u = c; u 2 K

или в более подробной записи

Задачи вида (3.4.46) или более общего вида

где Ai (mi £ n)-матрицы, b¡i 2 Rmi , Ki квадратичный конус в Rmi , 1 · i · s, называются задачами конического квадратичного программирования. Следует подчеркнуть, что класс таких задач весьма обширен.

Наряду с коническим квадратичным программированием другим весьма важным классом задач конического программирования являются задачи полуопределенного программирования. Это задачи в матричных пространствах, а именно, в пространстве симметричных вещественных матриц Sn порядка n. Размерность такого пространства конечная и равняется так называемому "треугольному числу" k4(n) = n(n + 1)=2. В качестве конуса в Sn берется конус положительно полуопределенных

матриц S+n. Конус S+n самосопряженный, его внутренностью является конус положительно определенных матриц S++n . Для того, чтобы указать на положительную полуопределенность матрицы M используют запись в виде нестрогого неравенства M º 0. Соответственно, когда матрица M положительно определенная, применяют строгое неравенство M Â 0.

Введем в пространстве Sn скалярное произведение между двумя матрицами A и B по Фробениусу (на самом деле оно может быть введено и в более общих пространствах прямоугольных матриц одного размера). Пусть A; B 2 Sn. Тогда под скалярным произведением матриц A и B понимается следующая величина

где aij и bij (ij) -ые элементы соответственно матриц A и B.

Задача полуопределенного программирования состоит в нахождении матрицы X 2 Sn такой,

где все матрицы C, Ai, 1 · i · m, принадлежат пространству Sn. Двойственная задача к (3.4.49) заключается в

где u = [u1; : : : ; um] 2 Rm. Обратим внимание, что допустимое множество в двойственной задаче задается с помощью линейного матричного неравенства.

3.4.4. Геометрическое программирование

Рассмотрим специальный класс задач нелинейного программирования, получивший название

геометрического программирования. Пусть csi ¸ 0, 1 · i · ks, 0 · s · m, xj > 0, 1 · j · n. Функция вида

называется позиномом. Задача геометрического программирования заключается в нахождении

Такие задачи могут появиться, в частности, при проектировании технических изделий, когда некоторые зависимости и характеристики аппроксимируются полиномами. Иногда вместо требования x > 0n накладываются двусторонние ограничения на x, а именно, a · x · b, где a и b некоторые заданные n-мерные векторы: b > a > 0n.

Задача геометрического программирования (3.4.50) не обязательно является задачей выпуклого программирования, однако, она может быть сведена к последней. Сделаем замену переменных: yi = ln xi, 1 · i · n. Тогда задача (3.4.50) принимает вид:

Все функции f~s(y), 0 · s · m теперь выпуклые. Это следует из того, что экспонента является выпуклой функцией. Поэтому (3.4.51) задача выпуклого программирования.

Возможен также другой подход сведения задачи (3.4.50) к задаче выпуклого программирования. Он основан на переходе к двойственной задаче. Чтобы ее построить, преобразуем сначала задачу (3.4.51). С этой целью упростим вид функций f~s(y). Положим

zs = Asy + bs; 0 · s · m;

где As (ks £ n)-матрицы, составленные из элементов aijs . В переменных zs функции f~s(y) принимают вид:

Переменными в ней являются вектор y 2 Rn и вектор z = [z0; : : : ; zm]T , составленный из векторов zs, 0 · s · m. Размерность z равна N = k0 + ¢ ¢ ¢ + km. Число ограничений в (3.4.53)–(3.4.54) равняется N + m, причем N из них линейные. Зная решение (3.4.53)–(3.4.54), можно восстановить решение исходной задачи (3.4.51).

Построим задачу, двойственную к (3.4.53)–(3.4.54). Для этого составим функцию Лагранжа

где us 2 Rks , u = [u0; : : : ; um], и v = [v1; : : : ; vm] 2 Rm, vs ¸ 0, 1 · s · m. Объединим множители u и v в единую переменную w = [u; v] 2 и обозначим W = RN £ Rm+ . Согласно определению

двойственная задача заключается в нахождении

sup Á(w); Á(w) = inf L(y; z; w);

причем для двойственной функции Á(w) в силу ее специального вида справедливо представление:

Пусть W0 = fw 2 W : Á(w) > ¡1g и пусть w 2 W0. Как следует из (3.4.55) точка w 2 W0 в том и только в том случае, когда выполняется равенство

Здесь f¹0¤(u0) и (vsf¹s)¤(us) сопряженные функции к соответственно функциям f¹0(z0) и vsf¹s(zs). Если vs > 0, то как следует из утверждения ??, имеет место связь:

(vsf¹s)¤(us) = (f¹s¤vs)(us) = vsf¹s¤ µus ¶: vs

В случае же, когда vs = 0, как нетрудно видеть, (vsf¹s)¤(us) = +1 для любого us 2 Rks . Поэтому должно выполняться: vs > 0 при w 2 W0, причем для всех 1 · s · m, .

Таким образом, для w 2 W0 имеем:

Вычислим теперь сопряженные функции f¹s¤(us) с учетом того, что для самих функций f¹s(us) справедливы выражения (3.4.57), (3.4.58). Используя их сепарабельный вид, получаем:

Понятно, что в большинстве случаев найти такую точку x¤ 2 X, в которой все критерии f1(x),

: : :, fr(x) достигали бы на X своего минимального значения, не представляется возможным. Поэтому приходится изменять само понятие оптимальности для задач вида (3.5.1). Сделать надо это таким образом, чтобы отбросить заведомо неприемлемые решения.

Определение 3.5.1. Точка x¤ 2 X называется оптимальной по Слейтеру или слабо опти-

Согласно приведенным определениям любая оптимальная по Парето точка является одновременно оптимальной и по Слейтеру, но не наоборот. Если неравенства (3.5.2) или (3.5.2) выполняются только для x из некоторой окрестности ¢vep(x¤) \ X точки x¤, то тогда приходим к локальным оптимальным соответственно по Парето или по Слейтеру решениям.

Обозначим через F ½ Rr образ задачи (3.5.1) в пространстве критериев (его называют множеством достижимых оценок)

F = ©f 2 Rr : f = f(x); x 2 Xª:

Если допустимое множество X выпукло и все функции f1(x), : : :, fr(x) также выпуклы, то множество F оказывается эффективно выпуклым, что означает выпуклость множества F+ = F + Rr+. На рис. * и ** показаны множества F и F+ как в общем случае, так и в случае выпуклых критериев. Пространство Rr, которому принадлежит множество F , называется критериальным пространством или пространством оценок, а сами векторы f(x) 2 F называют также векторными оценками допустимого решения x 2 X. Множество F+ принято называть оболочкой ЭджвортаПарето множества F .

Пусть X¤S множество точек из X, оптимальных по Слейтеру, и пусть X¤P множество точек из X, оптимальных по Парето. Этим двум множествам соответствуют пара подмножеств в F , а именно, F¤S = f(X¤S) и F¤P = f(X¤P ). Множество F¤S является множеством значений критериев, оптимальных по Слейтеру. Аналогично, F¤P является множеством значений критериев, оптимальных по Парето. Векторы f¤ 2 F¤P при этом называют парето-оптимальным критериями или парето-оптимальными оценками. Если f¤ 2 F¤P , то не существует такой векторной оценки f 2 F , что f 6= f¤ и f · f¤. Соответственно, если f 2 F¤S, то не существует оценки f 2 F такой, что f < f¤. Часто эти неравенства используются в качестве определений оптимальных оценок (по Парето или по Слейтеру). На рис. *** показаны множества F¤P и F¤S. Оба эти множества, находясь в F , принадлежат "юго-западной"границе F+. Имеет место включение F¤P µ F¤S.

Приведем условия оптимальности первого порядка для задачи (3.5.1). Для простоты предполагаем, что допустимое множество X в задаче (3.5.1) задается функциональным образом только с помощью ограничений-неравенств:

X = ©x 2 Rn : hj(x) · 0; 1 · j · mª:

Предполагаем также, что все функции, как критерии fi(x), 1 · i · r, так и ограничения hj(x), 1 · j · m, непрерывно дифференцируемы на Rn.

где u 2 ¤r, v 2 Rm+ , ´ 2 Rr. Функция (3.5.4) является обобщением регулярной функции Лагранжа на задачу многокритериальной минимизации (3.5.1). Если r = 1, то функция (3.5.4) переходит в обычную функцию Лагранжа для задачи с одной целевой функцией и с ограничениями-неравенствами. Векторный параметр ´ веден для того, чтобы иметь возможность выделять среди множества Y¤S отдельные оптимальные оценки y¤ 2 Y¤S.

Кроме того, для произвольной точки x¤ 2 X¤S рассмотрим линеаризованную задачу многокритериальной минимизации

где J0(x¤) множество индексов активных ограничений в точке x¤. Множеством ее достижимых

Аналогом принципа Лагранжа 3.2.2 для задачи многокритериальной минимизации являются необходимые условия оптимальности Да Канха Полака, которые здесь приводятся в несколько отличном от общепринятого виде.

где ® и ¯ произвольные положительные константы.

Доказательство. Так как x¤ 2 X¤S, то, как и при доказательстве принципа Лагранжа (теорема 3.2.2), убеждаемся, что линейная однородная система

не имеет решения. Отсюда согласно замечанию к теореме Фана или по теореме Моцкина найдутся такие неотрицательные числа u1¤, : : :, ur¤, и v¤j, j 2 J0(x¤), не равные нулю в совокупности, что

причем среди множителей v¤j, j 2 J0(x¤) найдется по крайней мере один строго положительный. Но это противоречит условию регулярности Мангасариана-Фромовица, так как, беря s¹ такое, что hhjx; s¹i < 0, j 2 J0(x¤), мы получаем неравенство

X

v¤jhhjx(x¤); s¹i < 0;

j2J0(x¤)

что противоречит равенству (3.5.10). Таким образом, u¤ 6= 0r и можно считать, что u¤ 2 ¤r.

Если ввести условие дополняющей нежесткости v¤jhj(x¤) = 0, 1 · j · k, то, как и в случае обычной оптимизационной задачи с одним критерием, во вторую сумму в (3.5.9) можно добавить градиенты неактивных ограничений hjx(x¤), j 2 J¡(x¤) с нулевыми множителями Лагранжа v¤j = 0. Следовательно, наряду с (3.5.9) справедливо

Данное равенство можно записать в виде условия (3.5.6), причем оно будет выполняться для любого

´¤ 2 Rr.

Второе равенство в (3.5.7), как уже отмечалось, при v¤ ¸ 0k равносильно одновременному выполнению двух условий, а именно, условия допустимости h(x¤) · 0k и условию дополняющей нежесткости v¤jhj(x¤) = 0, 1 · j · k.

¥

Многокритериальные задачи принятия решений. Под многокритериальной задачей принятия решения понимается задача выбора наилучшего варианта из множества возможных альтернатив X (для определенности считаем, что X µ Rn). При этом имеются несколько критериев f1(x),

: : :, fr(x), оценивающих качество каждой такой альтернативы x 2 X. Это позволяет свести выбор альтернативы x из множества X к выбору точки y в критериальном пространстве Rr во множестве Y = f(X). Встает вопрос, каким образом следует сравнивать точки из Y , чтобы заключить, что данная точка y¤ 2 Y является искомым наилучшим решением. Делается это с помощью такого понятия как предпочтение, когда сопоставляются две точки и говорят, что одна точка предпочтительнее другой или, быть может, они равноценны.

Одним из основных способов описания предпочтений является “язык” бинарных отношений. Под бинарным отношением R на множестве Y понимается подмножество множества Y £Y . Говорят, что пара [y1; y2] находится в бинарном отношении R и обозначают это как y1Ry2, если [y1; y2] 2 R. К бинарным отношениям как ко множествам применяются все теоретико-множественные операции: объединения, пересечения и т.д. Кроме того, вводится специальная операция обратного отношения: y1R¡1y2 тогда и только тогда, когда y2Ry1.

Среди всех бинарных отношений выделяют ряд специальных бинарных отношений, обладающих определенными свойствами. Бинарное отношение называется:

²рефлексивным, если yRy для любого y 2 Y , и иррефлексивным, если, наоборот, yRy не выполняется ни для одного y 2 Y ;

²симметричным, если из y1Ry2 следует y2Ry1, и асимметричным, если из y1Ry2 следует, что y2Ry1 не выполняется;

²антисимметричным, если из y1Ry2 и y2Ry1 следует, что y1 = y2;

²транзитивным, если из y1Ry2 и y2Ry3 следует y1Ry3;

²связным (полным) если для любых y1 2 Y и y2 2 Y справедливо либо y1Ry2, либо y2Ry1, либо оба.

Любое иррефлексивное и транзитивное бинарное отношение обязательно асимметричное (проверьте это), а асимметричное отношение обязательно иррефлексивное. Если бинарное отношение не является полным, то про него говорят, что оно частичное (несвязное).

Бинарным отношениям, обладающим несколькими из указанных свойств, присвоены специальные названия.

Эквивалентность это рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение. Квазипорядок это рефлексивное и транзитивное отношение. Антисимметричный квазипоря-

док называется порядком.

Строгий порядок это иррефлексивное и транзитивное отношение.

На Rr можно рассмотреть, например, следующие отношения. Они определяются для любых y1 и y2 из Rr.

² Отношение ¸. Для данного отношения y1 ¸ y2 означает, что y1i ¸ y2i для всех i 2 [1 : r].

² Отношение > (не путать с ¸). Для данного отношения y1 > y2 означает, что y1 ¸ y2, но y1 =6 y2.

² Отношение >. Для данного отношения y1 > y2 означает, что y1i > y2i для всех i 2 [1 : r].

Отношение ¸ является частичным порядком, а отношения > и > строгими частичными порядками. Для приведенных отношений используются и другие обозначения.

Таким образом, для описания предпочтений можно воспользоваться бинарными отношениями. Рассматривают отношение строгого предпочтения RSP, отношение нестрогого предпочтения RP

и отношение безразличия RE. Эти отношения по смыслу должны обладать следующими свойствами: RP рефлексивно, RE рефлексивно и симметрично, а RSP асимметрично и, стало быть, иррефлексивно. Если эти отношения еще и транзитивны, то RP образует квазипорядок, RSP и RE соответственно строгий порядок и эквивалентность.

Если задано отношение нестрогого предпочтения RP, то его можно разбить на две части, а именно, на симметричную и асимметричную части RP. Симметричная часть даст нам RE = RP \ R¡1P , а асимметричная часть RSP = RP n R¡1P .

Пусть теперь на Y или на некотором множестве, содержащем Y , задано отношение RP и из него выделены вышесказанным способом отношения RSP и RE.

Определение 3.5.3. Элемент y¤ 2 Y называется наилучшим в Y относительно RP, если yRPy¤ для любого y 2 Y .

К сожалению, если отношение RP не является связным квазипорядком, то такого наилучшего элемента может не оказаться. Поэтому вводят другое более слабое определение (оно уже касается отношения RSP).