Динамика
.pdf2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Физика. Динамика
● Задача 2. Через неподвижный блок |
|
|
|
|
|
|
/ / / / / / / / / |
/ |
|
|
|||
(рис. 7) перекинута лѐгкая верѐвка, к кон- |
|
|
|
|
|
||||||||
y |
|||||||||||||
цу которой прикреплѐн |
груз массой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m 9 кг. Для поднятия груза с поверхно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сти земли на высоту H1 4 м за время |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. F |
||||
t 6 с надо потянуть верѐвку с постоян- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
||||||
ной силой F . На какую величину потре- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||
буется увеличить силу F , |
чтобы поднять |
|
|
|
|
|
|
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
. |
||||||||
груз с поверхности земли за то же время |
O |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ / / / / / / / / / |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
на высоту H2 6 м? Массой блока и тре- |
/ / / / / / / / |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
mg |
|||||||
нием в его оси пренебречь. |
|
|
|
|
|
|
Рис. 7 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(МФТИ, 1989 г.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. В процессе подъѐма на груз действуют сила T натяжения верѐвки и сила тяжести mg (рис. 7). В проекциях на ось Oy по 2-му
закону Ньютона имеем ma T mg , где a – ускорение груза.
Поскольку массой верѐвки можно пренебречь, то модуль силы T равен модулю силы F , с которой тянут за свободный конец верѐвки:
T F. Под действием этой силы груз получает ускорение a |
F mg |
и |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
поднимается на высоту H |
|
|
|
at2 |
(вспомните кинематику). Исключая |
|||||||
1 |
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
величину a из двух последних уравнений, найдѐм: |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
F mg |
2mH1 |
. |
|
(*) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|||
Аналогично, чтобы поднять груз за то же время на высоту H2 , надо |
||||||||||||
приложить силу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F F mg |
2mH2 |
, |
(**) |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
где F – искомое увеличение модуля силы F . Из уравнений (*) и (**) |
||||||||||||
находим F |
2m H2 H1 |
|
1H . ● |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
21
2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Физика. Динамика |
|
|
|
|
|||
● Задача 3. Чему равны силы натяжения нитей |
abcdef |
и gh в |
|||||
устройстве с подвижным блоком, изображѐнном на рисунке 8? Массы |
|||||||
тел соответственно равны m1 |
3кг и m2 2 кг . Нити лѐгкие и нерас- |
||||||
тяжимые, массами блоков пренебречь. |
|
|
|
|
|||
|
|
f |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
T1 |
a2 |
|
|
|
|
|
a1 T1 |
|
|
|
d g |
e |
|
T2 |
|
|
||
a |
|
|
|
|
|
T2 |
|
m1 |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
m1g |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
m2g |
|
Рис. 8 |
|
|
Рис. 9 |
|
|
||
Решение. Изобразим силы на рис. 9. Нить |
abcdef |
будет действо- |
|||||
вать на тело массой m |
и на левую и правую стороны подвижного бло- |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ка с одинаковой силой T1 (нить лѐгкая, блоки лѐгкие). Нить |
gh будет |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
действовать на подвижный блок и тело массой m2 с силами T2 (нить |
|||||||
лѐгкая). Силы, действующие на нити и на неподвижный блок, не влия- |
|||||||
ют на ход решения задачи, и мы их изображать не будем. |
|
|
|||||
Выберем произвольно направления ускорений тел и направим ко- |
|||||||
ординатную ось x |
вертикально вверх (см. рис. 9). Запишем уравнение |
||||||
(1), выражающее второй закон Ньютона, для обоих тел и для подвиж- |
|||||||
ного блока сразу в проекциях на координатную ось x: |
|
|
|
||||
m1a1 T1 m1g, |
m2a2 T2 m2 g, |
0 2T1 T2 . |
|
||||
Последнее уравнение написано для подвижного блока с учѐтом того, |
|||||||
что его масса равна нулю. |
|
|
|
|
|
||
Записанные три уравнения содержат четыре неизвестных: T1, T2 , a1 |
|||||||
и a2 . Необходимо добавить кинематическое условие, связывающее |
|||||||
ускорения тел. Можно показать, что при наличии подвижного блока |
|||||||
модуль ускорения тела массой m1 в два раза больше модуля ускорения |
|||||||
тела массой m2 , то есть a1 2a2 (доказательство не приводим). |
|
||||||
Мы получили четвѐртое, недостающее, уравнение, с учѐтом которо- |
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
22
2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Физика. Динамика
го написанные выше уравнения дают:
|
2m1a2= T1 m1 g, m2a2= 2T1 m2 g. |
|||||||||||
Отсюда находим a = |
m2 |
2m1 |
g = 2, 8 ì / c2 , |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
m2 |
+ 4m1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
T1 |
|
|
3m1m2 g |
|
12, 6 H. |
|
|||
|
|
|
m2 + 4m1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Учитывая, что T2 2T1 , |
получим T2 |
|
6m1m2g |
25, 2 H . Знак ми- |
||||||||
m2 |
4m1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нус у проекции ускорения второго тела показывает, что на самом деле
ускорение a2 направлено в другую сторону, т. е. вверх вдоль оси Ox . Проекция ускорения первого тела a1 2a2 5, 6 м/c2 . Вновь знак
минус показывает, что на самом деле ускорение a1 направлено в другую сторону, т. е. вниз (противоположно оси Ox ). ●
● Задача 4. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости, скользит по ней, двигаясь вверх, а затем возвращается к месту броска.
Наклонная плоскость составляет с горизон- |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
том угол . Коэффициент трения скольже- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
o |
||||||
a |
x |
|||||||||
ния между шайбой и плоскостью равен . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чему равно ускорение шайбы при движении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fтр |
|
|
|
|
||||||
а) вверх по наклонной плоскости, б) вниз по |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наклонной плоскости? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. а) При движении вверх дей- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ствующие на шайбу силы изображены на |
|
|
|
|
|
mg |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
рис. 10: mg – сила тяжести, Fтр.ск. – сила |
|
|
Рис. 10 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
трения скольжения, N – сила нормальной реакции опоры. Выберем инерциальную систему отсчѐта и направим оси координат так, как показано на рис. 10. Ускорение шайбы направим вдоль наклонной плоскости вниз.
Запишем уравнение (1) второго закона Ньютона сразу в проекциях на оси координат:
Ox : ma mg sin N,
Oy : 0 N mg cos .
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
23
2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Физика. Динамика
В первом уравнении мы учли, что сила трения скольжения равна
Fтр.ск. N . Записанные уравнения дают: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
N |
|
|
|
|
||||||
a sin cos g. |
|
|
|
|
x |
o |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fтр |
|
||
б) При движении шайбы вниз по наклон- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||||
ной плоскости на неѐ действуют те же силы |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 11), только направление силы трения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скольжения поменялось на противополож- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ное, и теперь эта сила направлена вдоль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mg |
|
|
|
|
|||
наклонной плоскости вверх. Выберем инер- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
циальную систему отсчѐта так же, как в |
|
|
|
Рис. 11 |
|
|
|
|
предыдущем случае (рис. 11). Ускорение шайбы направим вдоль наклонной плоскости вниз.
Уравнение (1) в проекциях на оси координат даѐт:
Ox : ma mg sin N,
Oy : 0 N mg cos .
(И вновь в первом уравнении мы учли, что сила трения скольжения Fтр.ск. N .) Совместное решение написанных уравнений позволяет
найти ускорение шайбы: a sin α μ cos α g .
Если при подстановке конкретных числовых значений и вы-
ражение в скобках окажется отрицательным, то это будет означать, что на самом деле направление ускорения шайбы будет противоположно выбранному. ●
*● Задача 5. На две частицы – одну массы m, летящую со скоро-
стью v , другую массы 2m , летящую со скоростью 2v перпендикулярно к первой (рис. 12), в течение некоторого одинакового промежутка времени действуют одинаковые по модулю и направлению силы. К моменту прекращения действия сил первая частица начинает двигаться в обратном направлении со скоростью 2v . С какой скоростью будет двигаться при этом вторая частица?
Решение. Векторная разность конечного и начального импульсов первой частицы равна импульсу I действовавшей на неѐ силы (рис. 13).
Его модуль равен I 3mv . Такой же импульс силы I действовал на
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
24
2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Физика. Динамика
вторую частицу. Еѐ конечный импульс 2mv2 равен векторной сумме еѐ
начального импульса 2m2v и импульса силы |
|
I (рис. 13). Используя |
|||||||||||||||||||||||||||
теорему Пифагора, находим скорость v2 , а именно: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2mv2 |
|
2m2v 2 |
I 2 5mv. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Откуда |
|
v2 |
|
v . Направление вектора v2 определим углом к на- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
правлению |
|
начального |
импульса |
|
|
частицы. Очевидно, что |
|||||||||||||||||||||||
tg = |
I |
= |
3mv |
= |
3 |
.* |
|
|
|
|
|
|
|
I |
=3mv |
|
|
||||||||||||
4mv |
4mv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
2mv |
|
m mv |
|
|
|||||||||||||||
|
|
2v |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m v2 |
|
2m2v |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
m |
v |
2v |
|
|
|
|
|
|
|
I =3mv |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 13 |
|
|
Контрольные вопросы
1*. При выстреле из винтовки скорость пули в момент вылета из ствола равна 500м/с , а скорость винтовки при отдаче 1,25м/с . Во
сколько раз масса винтовки больше массы пули?
2*. На первоначально покоившееся тело массой m начинает дей-
ствовать сила, |
модуль которой изменяется со временем по закону |
||||
F t k t , |
где |
|
t время в секундах, а k коэффициент пропорцио- |
||
нальности в |
H |
. Направление силы остаѐтся неизменным. Чему рав- |
|||
|
|
|
|
||
|
|
||||
|
c |
|
ны ускорение и скорость тела через время после начала движения?
3.Тело массой 500 кг движется прямолинейно так, что его коорди-
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
25
2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Физика. Динамика
ната x изменяется со временем по закону: x t 20 10t t2 . Чему
равна проекция Fx на ось Ox равнодействующей силы F , действующей на тело.
4.Тело массой 400г , двигаясь прямолинейно с некоторой начальной скоростью, за 5 секунд под действием силы 0,6 H приобрело скорость 10м/с . Чему равна начальная скорость тела?
5.Чему равно ускорение свободного падения на поверхности Юпитера, если его масса приблизительно в 317 раз больше массы Земли, а
радиус в 11 раз больше земного?
6. На рисунке 14 приведены графики зависимости модуля силы упругости Fy от
величины деформации x для двух пружин. Какую из пружин надо растянуть сильнее,
чтобы значения сил упругостей пружин были одинаковыми?
7. Длина недеформированной пружины
Fу , Н |
II |
|
20 |
|
|
|
|
|
15 |
|
I |
10 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
2 |
x, см |
|
l0 40см , коэффициент жѐсткости |
k 15 |
H |
Рис. 14 |
|
|
. |
|||
|
|
|||
|
|
м |
|
С помощью закона Гука определите, какой станет длина пружины, если еѐ растянуть с силой F 0,6H ?
8. На вытянутой ладони покоится тело массой 300 г . Чему равны
сила тяжести и вес этого тела? К чему приложена каждая из этих сил? Чему будут равны вес тела и сила тяжести, действующая на тело, если ладонь быстро убрать (выдернуть) из-под тела?
9. К вертикальной стене прижали деревянный брусок массой 1,5кг .
Коэффициент трения бруска о стену составляет 0,3. С какой наименьшей силой необходимо прижать брусок, чтобы он не скользил вниз?
Задачи
1. За снегоходом на нерастяжимом тросе тянут груз массой 500 кг . Найдите наибольшую силу натяжения троса, если максимальное ускорение снегохода 2м/с2 . Коэффициент трения скольжения груза о снег 0,1. Трос натянут горизонтально, его масса пренебрежимо мала. Выберите правильный ответ и объясните свой выбор.
1) 500H; 2) 750H; 3) 1000 H; 4) 1250H; 5) 1500H;
(РГТУ-МАТИ, 2006г.).
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
26
2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Физика. Динамика
F
g
Рис. 15 |
|
Рис. 16 |
2. Брусок массой M 2кг |
движется вдоль горизонтальной плоско- |
|
сти под действием силы |
F |
20H , направленной вверх под углом |
30 к горизонту (рис. 15). Коэффициент трения скольжения бруска
оплоскость 0,1 . Найдите ускорение бруска. (Институт криптогра-
фии, связи и информатики Академии ФСБ РФ, 2006г.).
3. Массы тел на рис. 16 равны m1 3 кг, m2 2кг, m3 1кг ; нити невесомые и нерастяжимые. К первому телу приложена горизонтальная сила F 12H . Найдите силу натяжения нити, которая связывает тела массами m1 и m2 . Трения нет. Выберите правильный ответ и объясните
свой выбор.
1) 6H; 2) 8H; 3) 10H; 4) 11H; 5) 12H; (РГТУ – МАТИ, 2006 г.).
4*. Тело массой m 1 кг брошено под углом к горизонту. За всѐ
время полѐта его импульс изменился на p 20 |
кг м |
. Пренебрегая со- |
|
с |
|||
|
|
противлением воздуха, определите наибольшую высоту подъѐма тела. (МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006 г.).
5. Груз массой 3 кг подвешен к потолку лифта с помощью двух
одинаковых нитей, каждая из которых образует с вертикалью угол 60 . Какими будут силы натяжения каждой нити, если лифт будет опускать-
ся с ускорением, направленным вниз и равным 2м/с2 ? (РГУ нефти и
газа им. И.М. Губкина, 2006 г.).
6. Двумя нитями, одна из которых горизонтальна, а другая составля-
ет с горизонтом угол 60 , груз закреплѐн |
|
|
на тележке (рис. 17). С каким ускорением |
|
|
движется тележка по горизонтальной поверх- |
|
|
ности, если силы натяжения нитей одинаковы |
|
|
по величине? Груз покоится относительно те- |
|
|
лежки. Нити лѐгкие и нерастяжимые. (МГИЭТ, |
Рис. 17 |
|
2006 г.). |
||
|
||
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич |
|
27
2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Физика. Динамика |
|
|
|
7*. Призма находится |
на горизонтальном |
шероховатом |
столе |
(рис. 18). На поверхность призмы, составляющую угол с горизонтом, |
|||
положили брусок массой m |
и отпустили. Он |
m |
|
начал соскальзывать, а призма осталась в по- |
|
||
|
|
||
кое. Коэффициент трения скольжения между |
|
|
|
бруском и призмой . Найдите силу трения |
|
|
|
Fтр между призмой и столом. |
|
|
|
(Институт криптографии, связи и информа- |
Рис. 18 |
|
|
тики Академии ФСБ РФ). |
|
|
|
|
|
|
|
8*. На дне коробки стоит брусок массой |
|
|
|
M , на котором находится кубик массой m |
|
|
|
(рис. 19). Кубик привязан к правой стенке ко- |
m |
g |
|
робки нитью, параллельной дну. Коэффициент |
M |
|
|
трения между бруском и дном равен , тре- |
|
||
|
|
||
ния между бруском и кубиком нет. При каком |
|
|
|
угле наклона коробки брусок начнѐт вы- |
Рис. 19 |
|
|
скальзывать из-под кубика? (Новосибирский |
|
||
|
|
||
гос. университет, 2006 г.). |
|
|
|
9. Груз массой m 20кг |
можно поднимать с |
|
|
помощью системы из подвижного и неподвиж- |
|
|
|
ного блоков (рис. 20). С какой постоянной силой |
|
|
|
F надо тянуть верѐвку, чтобы за время подъѐма |
|
|
|
t 0,5с груз из состояния покоя достиг скоро- |
|
|
|
сти v 2м/с ? Массами верѐвки, блоков и тре- |
|
|
|
нием в осях пренебречь. (МФТИ, 1989 г.). |
|
|
Рис. 20
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
28