P4_10_13

2013-2014 уч. год, №4, 10 кл. Физика. Электростатика

них (внешних) неподвижных электрических зарядов, то собственные подвижные («свободные») носители заряда

проводника распределятся в нѐм таким образом – и создадут такое собственное поле, – что напряжѐнность результирующего поля (внешнего плюс наведѐнного) во всех точках внутри про-

водника окажется в точности равной нулю. Это, в частности, справедливо и в том случае, когда проводник заряжен, но нет сторонних зарядов и нет стороннего электрического поля. (Вне проводника электрическое поле, также являясь суммой внешнего и навѐденного полей, не обязано быть равным нулю.)

Строго говоря, то, что было сказано, есть определение идеального проводника. Экспериментальный факт состоит в том, что существуют реальные материалы – металлы, – которые ведут себя практически так же, как идеальный проводник. Количество свободных носителей заряда в них огромно – порядка 1022 1023 1/см3

(для сравнения: число звѐзд в Галактике порядка 1011).

2013, ЗФТШ МФТИ, Чудновский Александр Витальевич

21

2013-2014 уч. год, №4, 10 кл. Физика. Электростатика

Пример 17. Две проводящие пластины большого размера и равной площади с зарядами Q1 и Q2 расположены параллельно друг другу. Найти заряды q1, q2, q3 и q4 на поверхностях пластин (рис.13). Рассмотреть случаи:

а) Q1= Q2 = +Q и б) Q1 = – Q2 = +Q.

Решение. Заряды пластин Q1 и Q2 распределятся по своим поверхностям, так что q1 +q2 = Q1 (1) и q3 + q4 = Q2 (2). Напряжѐнности поля внутри 1-й и 2-ой пластин равны нулю, поэтому имеем еще два равенства:

Решая систему уравнений (1 – 4), получаем q1 = q4 = (Q1+Q2)/2 и q3 = – q2 =

= (Q2 – Q1)/2.

Ответы: а) q1 = q4 = +Q и q3 = –q2 = 0; б) q1 = q4 = 0 и q3 = –q2 = – Q.

Пример 18. Имеются две изолированные друг от друга концентрические проводящие сферы радиусами R1 и R2>R1. Заряды сфер равны + Q и

– Q. Определить потенциалы сфер.

Решение. Напряжѐнность электрического поля в области r>R2 совпадает с полем 2-х точечных зарядов + Q и – Q, расположенных в центре обеих сфер, а значит, равно нулю. Поэтому работа сил электростатического поля при перемещении единичного точечного заряда от поверхности 2-ой сферы до бесконечности равна нулю, т. е. потенциал 2-ой сферы равен нулю,

2 0 . Потенциал 1-ой сферы удобно вычислить в еѐ центре. Все заряды 1-ой сферы (суммарный их заряд равен + Q) удалены от него на расстояние R1, поэтому создают в этой точке потенциал, равный Q / 40 R1 . Аналогично все заряды 2-ой сферы (их суммарный заряд равен – Q) создают в этой точке потенциал равный Q / 40 R2 . Окончательно потенциал 1-ой сферы

Q Q

равен 1 4 0 R1 4 0 R2 .

Пример 19. Точечный заряд Q поднесли к заряженному металлическому шару радиуса r на расстояние R>r от центра шара. Заряд шара равен q. Определить потенциал шара.

Решение. Потенциал шара одинаков во всех его точках. Удобно вычислить потенциал в центре шара. При поднесении к шару заряда q в нѐм произойдет перераспределение заряда, причѐм, – только на его поверхности и так, что суммарный заряд шара останется равным q. Все отдельные порции

qшара этого заряда qшара q будут находиться на одинаковом расстоя-

2013, ЗФТШ МФТИ, Чудновский Александр Витальевич

22

2013-2014 уч. год, №4, 10 кл. Физика. Электростатика

нии r от центра шара, поэтому суммарный потенциал, создаваемый ими в этой точке, будет равен: ( qшара ) / 4 0 r q / 40 r . Потенциал, создаваемый точечным зарядом Q в центре шара, равен Q / 40 R . В результате по-

тенциал шара будет равен

q / 40 r Q / 40 R.

Пример 20. Точечный заряд Q поднесли к незаряженному металлическому шару радиуса r на расстояние R>r от центра шара. Затем шар зазем-

лили. Определить заряд q', который при этом «натечѐт с Земли» на шар. Потенциал земли принять равным нулю.

Решение. Весь «натекший с Земли» заряд распределится на поверхности шара, поэтому отдельные его порции qшара будут находиться на одинаковом расстоянии r от центра шара, и суммарный потенциал, создаваемый ими в этой точке будет равен ( qшара ) / 4 0 r q '/ 40 r . Потенциал, создаваемый точечным зарядом Q в центре шара равен Q / 40 R . Суммарный потенциал зарядов Q и q' равен нулю, т. е. q '/ 4 0 r Q / 4 0 R 0,

откуда получаем q'= – rQ/R.

Рис. 14

Пример 21. Точечный положительный заряд поднесли к бесконечной проводящей плоскости. Нарисовать качественно картину линий напряжѐнности электрического поля и эквипотенциальных поверхностей.

Решение. См. рис.14.

2.2. Электроѐмкость уединѐнного проводника и конденсатора

Наличие единого (в электростатике!) потенциала во всѐм проводнике – одно из важнейших его свойств, и именно оно позволяет строго ввести определение электрической ѐмкости уединѐнного проводника по формуле

2013, ЗФТШ МФТИ, Чудновский Александр Витальевич

23

2013-2014 уч. год, №4, 10 кл. Физика. Электростатика

где 1 и 2 – потенциалы отдельных проводников с зарядами Q и – Q. Не будь этого свойства, было бы непонятно, что именно понимать под , 1 и2 . Почему мы, например, не спрашиваем себя, какова ѐмкость двух дере-

вяшек? Да потому, что мы не можем говорить о едином потенциале даже одной деревяшки (в разных точках еѐ потенциал будет, вообще говоря, разным).

Электроѐмкость измеряется в фарадах: 1 фарад = 1 Ф = 1 Кл/1В.

В определение ѐмкости конденсатора, т. е. пары проводников, входит один заряд. Дело в том, что наибольший практический интерес представляет случай, когда заряды проводников одинаковы по модулю и противоположны по знаку: Q1 = – Q2 = Q.

Хотя в определение электроѐмкости входят заряд и потенциал C=Q/

(или разность потенциалов – для конденсатора C=Q/( 1 – 2 )), фактически

ни от заряда, ни от потенциала (разности потенциалов) ѐмкость не зависит, а определяется только геометрией проводника (да еще диэлектрической проницаемостью среды, см. раздел, посвящѐнный диэлектрикам). Например, ѐмкость уединенного проводящего шара радиуса R в вакууме равна

(последняя формула получается непосредственно из формулы для потен-

Последнее связано с тем, что потенциал уединѐнного проводника всегда пропорционален его заряду (а в конденсаторе разность потенциалов пропорциональна заряду); ѐмкость же есть как раз коэффициент пропорцио-

нальности Q=C (или Q=C ( 1 – 2 )).

Нетрудно вычислить (воспользовавшись результатом Примера 18) ѐмкость сферического конденсатора

где R1 и R2 – радиусы внутренней и внешней сфер.

2013, ЗФТШ МФТИ, Чудновский Александр Витальевич

24

2013-2014 уч. год, №4, 10 кл. Физика. Электростатика

Пример 22. Определить ѐмкость шара размером с Землю. Радиус Земли R=6370 км. Каким должен быть радиус металлического шара, чтобы его электроѐмкость была равна 1 фараду?

Решение. По формуле (2.2.3) С = 4 0 R 0,71 мФ. Чтобы ответить на

2-ой вопрос, снова воспользуемся формулой (2.2.3), выразив из неѐ R 1/ 40C = 9 106 км, что почти в 13 раз больше радиуса Солнца.

Пример 23. Оценить, какого размера должны быть пластины плоского воздушного конденсатора в форме квадратов, расстояние между которыми d = 1 мм, чтобы его электроѐмкость равнялась 1 фараду?

Решение. По формуле (2.2.4) имеем C = 0 L2/d, откуда L 10,6 км.

Пример 24. Как изменится электроѐмкость плоского конденсатора с воздушным зазором между пластинами площади S каждая и с расстоянием между пластинами d, если между обкладками конденсатора вставить

параллельно обкладкам металлическую пластину толщиной < d? Зависит ли результат от того, в какое именно место между обкладками конденсатора вставить пластинку?

Решение. Внутри металлической пластинки напряжѐнность электрического поля равна нулю, поэтому эта область не вносит вклада в разность потенциалов между обкладками конденсатора. Напряжѐнность в воздушном промежутке между обкладками конденсатора останется такой же, какой была до внесения пластинки (в целом электрически не заряженная пластинка не изменяет напряжѐнности поля вне еѐ). Ёмкость конденсатора без пластинки вычислялась бы так:

После внесения пластинки уменьшится ширина области пространства между обкладками конденсатора, занятая полем (от d до d– ); в итоге

сторасположения пластинки.

2.3. Энергия электрического поля

Энергия, запасѐнная в заряженном конденсаторе, может быть вычисле-

2013, ЗФТШ МФТИ, Чудновский Александр Витальевич

25

2013-2014 уч. год, №4, 10 кл. Физика. Электростатика

Рассмотрим плоский конденсатор с площадью пластин S и расстоянием

между ними d. Ёмкость такого конденсатора равна C 0 S . Придадим d

формуле (2.3.1) несколько иной – «полевой» – вид, а именно:

где E – напряжѐнность электрического поля между пластинами конденсатора, V = Sd – объѐм области между пластинами конденсатора, занимаемый полем (снаружи конденсатора электрическим полем пренебрегаем). Это наводит на мысль трактовать эту формулу следующим образом: вся энер-

гия сосредоточена именно в поле, причѐм,

– плотность энергии электростатического поля – количество энергии, приходящееся на единицу объѐма пространства, в котором сосредоточено поле.

Формула (2.3.3) справедлива не только в случае плоского конденсатора,

ив общем случае произвольного неоднородного поля.

3.Диэлектрики

3.1.Дипольный момент системы зарядов, поляризация

диэлектриков

Рассмотрим систему произвольного числа зарядов, притом такую, что

состоит из N точечных зарядов произвольной величины qi (i = 1, 2, 3, … N) и пусть в некоторой системе координат каждый из зарядов характеризует-

ся своим радиус-вектором ri . По определению электрическим дипольным моментом системы называют вектор

Электрические свойства диэлектриков обусловлены реакцией на внешнее поле не свободных электронов, как в металлах (в диэлектриках свободных электронов чрезвычайно мало), а так называемых связанных электронов – связанных с отдельными диполями молекул диэлектрика. Надо сразу сказать, что молекулы (атомы) разных веществ бывают двух сортов. Первые из них уже без всякого внешнего поля имеют дипольные моменты (например, молекулы воды); такие молекулы называют полярными, а вместе с ними и сами диэлектрики называют полярными. У другого сорта диэлектриков дипольный момент молекул в отсутствие внешнего поля равен

2013, ЗФТШ МФТИ, Чудновский Александр Витальевич

26

2013-2014 уч. год, №4, 10 кл. Физика. Электростатика

нулю (например, в симметричных молекулах О2, N2, CO2); такие молекулы называют неполярными; соответственно и диэлектрики, состоящие из таких молекул называют неполярными.

В отсутствие внешнего электрического поля даже вещества с полярными молекулами, как правило, никак себя электрически не проявляют. Это связано с тем, что диполи различных молекул в них направлены совершенно хаотически и, «действуя несогласованно», не создают никакого суммарного макроскопического электрического поля.

При помещении во внешнее электрическое поле (везде далее будем считать это поле однородным) вещества двух указанных сортов ведут себя в чѐм-то по-разному, но в чѐм-то и схоже. В полярных диэлектриках в расположении (ориентации) диполей появляется упорядоченность – диполи молекул стремятся выстроиться преимущественно по полю. В неполярных диэлектриках электронные облака молекул деформируются так, что у них появляются индивидуальные дипольные моменты, которые также стремятся выстроиться преимущественно по полю, – говорят, что происходит поляризация диэлектриков. В результате в обоих случаях на границах диэлектрика появляются, как и в металлах, избыточные поверхностные заряды той же полярности, что и в металлах. Наведѐнное ими электрическое поле

–E' также направлено навстречу внешне-

просто меньше внешнего, но в точности равно нулю. В диэлектриках оно до нуля не ослабляется, оставаясь конечным и равным E = E0/ , где – так называемая диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз диэлектрик ослабляет внешнее электрическое поле.

Замечание. Простое ослабление внешнего поля в диэлектрике в раз относится лишь к простейшей геометрии опыта, когда внешнее электрическое поле перпендикулярно поверхности диэлектрика. Рассмотрение случаев, когда поле направлено под другими углами к поверхности, выходит за рамки настоящего Задания.

Какие порядки величин встречаются? Для воздуха (и вообще, для газов, т. е. довольно разреженных систем с неполярными молекулами) эта величина лишь не намного превосходит единицу: 1,00058. А вот для воды эта величина значительно больше: 81. Последнее связано с тем, что, во-первых, молекулы воды H2O суть полярные молекулы (электроны в

2013, ЗФТШ МФТИ, Чудновский Александр Витальевич

27

2013-2014 уч. год, №4, 10 кл. Физика. Электростатика

них смещены от атомов водорода к атому кислороду), а во-вторых, концентрация молекул в воде значительно больше, чем в воздухе.

Пример 25. Заряды +q, +q, –q и –q расположены последовательно в вершинах квадрата, если обходить его по часовой стрелке. Сторона квадрата равна l. Определить дипольный момент системы.

Решение. Рассмотрим две пары разноименно заряженных зарядов. В каждой паре дипольный момент будет равен по мо-

дулю величине ql, и для разных пар дипольные моменты направлены в в одну и ту же сторону, поэтому их сумма равна 2 ql.

Пример 26. Металлический шар радиусом R с зарядом Q находится в среде с диэлектрической проницаемостью . Определить суммарный заряд Q

связанных зарядов на поверхности шара.

Решение. Ослабление в раз поля шара с заря- Рис. 16 дом Q обусловлено тем, что не его поверхности по-

3.2. Конденсатор с диэлектрической прослойкой

Ёмкость конденсатора с диэлектриком всегда больше, чем без него. Причина состоит в том, что диэлектрик ослабляет поле. Рассмотрим сначала плоский конденсатор с воздушным промежутком между пластинами (для воздуха 1). Поместим на одну из обкладок заряд Q, а на другую обкладку заряд –Q. Если площадь пластин равна S, то между пластинами

будет существовать электрическое поле E0 = / 0 = Q/(S 0 ), а между пла-

стинами будет существовать разность потенциалов U0=E0 d = Q d/(S 0 ).

Ёмкость конденсатора есть C0 = Q/U = 0 S/d. Не изменяя зарядов на пла-

стинах, заполним теперь промежуток между обкладками конденсатора диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . В результате напряжѐнность электрического поля уменьшится в раз, E = E0/ ; как следствие, в раз уменьшится напряжение между пластинами U = U0/ – и вже раз увеличится ѐмкость С = Q/U = С0, т. е.

В веществах, которые часто используются в конденсаторах, диэлектрические проницаемости таковы: для парафина 2, а для слюды 7,5. В

2013, ЗФТШ МФТИ, Чудновский Александр Витальевич

28

2013-2014 уч. год, №4, 10 кл. Физика. Электростатика

современных конденсаторах часто используют диэлектрические слои из титаната бария (TiBaO3) с добавлением небольшого количества других окислов. Обычно это – керамики, получаемые из тонкодисперсного порошка, размеры частиц которого порядка микрона (10–6 м). Толщины диэлектрических слоѐв в таких конденсаторах порядка 10 мкм, а порядка нескольких тысяч (до 20 000). В другом типе конденсаторов, так называемых электролитических конденсаторах, толщины диэлектрических слоѐв можно сделать в сотни раз меньше, чем в керамических конденсаторах, правда, изоляционные материалы, используемые в них, имеют меньшую, чем в керамических конденсаторах диэлектрическую проницаемость – от 8 до 27.

Пример 27. Оценить, какого размера должны быть пластины плоского конденсатора в форме квадратов, расстояние между которыми d = 10 мкм, с диэлектрической прослойкой на основе титаната бария, чтобы его электроѐмкость равнялась: а) 1 Ф, б) 1 мФ, в) 1 мкФ? Диэлектрическая прослойка на основе титаната бария (TiBaO3) имеет = 20 000.

равнялись бы, соответственно, а) больше 1 км, б) 33 м, в) больше 1 м.

Пример 28. Как изменится электроѐмкость плоского конденсатора с воздушным зазором между пластинами площади S каждая и с расстоянием между пластинами d, если между обкладками конденсатора вставить параллельно обкладкам диэлектрическую пластинку толщиной <d с диэлектрической проницаемостью ? Зависит ли результат от того, в какое именно место между обкладками конденсатора вставить пластинку? Рассмотреть предельный случай и сравнить его с Примером 24.

Решение. Решение аналогично Примеру 24, только теперь внутри пла-

29

2013-2014 уч. год, №4, 10 кл. Физика. Электростатика

ЛИТЕРАТУРА

1.Мякишев Г.Я, Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. ФИЗИКА: учебник для 10

кл. общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровень. – 16 изд. – М.: Просвещение, 2007. – 336 с.

2.Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. ФИЗИКА: Учеб. Пособие: в 3 кн. Кн.

3.Электродинамика. Оптика. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 336 с.

3.Павленко Ю.Г. Начала физики: Учебник. – 2-е изд. – М.: 2005. –864 с.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение потенциала, напряжения и напряжѐнности. Какие из этих величин являются характеристиками поля, зависящими от рассматриваемой точки?

2.Что такое силовые линии и эквипотенциальные поверхности? Как они связаны между собой?

3.Какая физическая величина может измеряться в единицах

Кл/(Ф м)?

4.Имеются две изолированные друг от друга концентрические проводящие сферы радиусами 2R и 5R с зарядами +20Q и –5Q соответственно. Определите потенциалы сфер, считая потенциал на бесконечности равным нулю.

5.Во сколько раз изменится ѐмкость вакуумного плоского конденсатора, если его пластины отодвинуть друг от друга на втрое большее расстояние, заполнить пространство между ними диэлектриком с ди-

электрической проницаемостью = 9 и уменьшить площадь самих пластин в 2 раза?

6.Могут ли притягиваться два одноимѐнно заряженных тела?

7.В среде с диэлектрической проницаемостью между пластинами плоского конденсатора создано электрическое поле напряжѐнностью E. Выведите формулу для плотности w энергии поля в конденсаторе, пользуясь формулой энергии конденсатора.

8.В трѐх вершинах квадрата со стороной a расположены заряды 2q, 3q и 5q. В четвѐртой вершине, лежащей на одной диагонали с зарядом

3q, находится неизвестный заряд. Определите дипольный момент p

системы, если известно, что он не зависит от выбора начала системы координат.

2013, ЗФТШ МФТИ, Чудновский Александр Витальевич

30