Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

С.В. Иванова"Формула Тэйлора и её применение"

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

1.05 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

! "#$$ %%

! "

# " $

% & ' (

)

" "

* # "

%+ ( ,-..* / 0 ,-..





			!	"
#	$ %			&
	#	$ % ' '
		(		&
	#	$ % ' '
		) *		&
	# #	%
		%		+
	# ,	$ -		+
,	.
	-
	/ '
	01 %			#


	(
	!						,
	(
	-						,
		(
		-	o xk	*	k	2

		'					,
		( 0
	#	3 '
	,	% * '					#
							,
	"	4 ! 0					"
	&	) * '					&
#	( %
	5						+

	x → ∞



		!



"	#
	$%& x → 0			'
		f (x)

		g(x)		(
	1
	f (x)
	f (x)		g(x)


"		(
	)%	*"

"		*
	)%	**

g (x) $+

x0 ,

-	lim		f (x)	= 1,	.	f (x)
-	lim			= 1,	.	f (x)
x→x			g(x)
	0
/ g (x) x → x0. 0
			f (x) g (x)		x → x0.
$- lim	f (x)		= 0, . f (x) 1
$- lim			= 0, . f (x) 1
x→x		g(x)
0
g (x) x → x0. 0
			f (x) = o(g (x)) x → x0.			2"-

3 2"-

. $

. $ %& g (x)

x → x0 4 2"- 5 $

5 f (x) o(g (x))

6 f (x) = o(1) . f (x)

$ x → x0. lim f (x) = 0

x→x0

7 f (x) = o(g (x)). g (x) 8 $

x → x0. f (x) % $

$ % g (x)

x → x0

9 $% f (x) $% /

g (x) x → x0. $& . $%

			x → x0.
		f (x) − g (x) = o(g (x))	x → x0.
- f (x) = a (x − x )n + o((x − x				0	)n)
x → x			0	0
x → x	0	. a = 0. a (x − x )n %
	0		0

f (x) x → x0

o(f )

o(f ) x → x0 C = 0


			o(Cf ) = o(f ) ;				!"
			C · o(f ) = o(f ) ;				#"
			o(f ) + o(f ) = o(f ) ;				$"
			o(o(f )) = o(f ) ;				%"
			o(f + o(f )) = o(f ) ;				&"
			o(f ) · o(g) = o(f g) ;				'"
			f n−1 o(f ) = o(f n) ;				("
o(f n)			n−1			˙
		= o f	,		f (x) = 0	x Uδ (x0) ;	)"
	f	= o f	,		f (x) = 0	x Uδ (x0) ;	)"
			(o(f ))α = o(f α) , α > 0.				*+"
,				'"
α (x) · β (x) -					α (x) .		o(f )

β (x) . o(g) -

. o(f g)

/ /

. , /

0 f (n) (x0)

f (x )

(x − x

(x )

(x − x )2 + . . . +

f (x) = f (x

) +

f (n) (x0)

(x − x0)n + o((x − x0)n)

x → x0

f (k) (x )

(x − x )k + o((x − x )n) x → x . **"

f (x) =

k=0

f (k) (x )

(x − x )k

(x) =

k=0

. f (x) x0 2 . rn (x) = f (x)−Pn (x) rn (x) = o((x − x0)n)

x → x0 n3

2 **" n3

. f (x) x0



4	. f (x)

x0 (n + 1)3

x - ξ 5 0 5 x x0 x < ξ < x0 x0 < ξ < x"

)

f (n+1) (ξ)

f k (x

(x − x

f (x) =

)k +

)n+1

(n + 1) !

k=0

(x) =

f (n+1)(ξ)

(x − x0)n+1

(n+1)!

f n (x0) !" f (x) " # $" "

	n		(x − x		)k + o((x − x )n)				x → x , %
f (x) =	a		(x − x		)k + o((x − x )n)			$"	x → x , %
		k	0				0		0
	k=0
$"	& "!"						$"	%	$'
" a		=		f (k)(x0)		,	k = 0, 1, . . . , n.
" a		=				,	k = 0, 1, . . . , n.
	k			k!
				k!

( " x0 = 0) $" " "

	n
f (x) =		f (k) (0)	xk + o(xn) $" x → 0	*

		k!
	k=0

" +

" $" + ,

!"-
	x2	xn
ex = 1 + x +		+ . . . +		+ o(xn) " "
ex = 1 + x +	2!	+ . . . +	n!	+ o(xn) " "
					n
					xk
		ex =					+ o(xn) $" x → 0. .
		ex =				k!	+ o(xn) $" x → 0. .
					k=0

ch x = 1 +

x2n

. . . +

+ o x2n+1

" "

(2n)!

x2k

x → 0.

ch x =

+ o x2n+1

(2k)!

k=0

x2n+1

sh x = x +

. . . +

+ o x2n+2

" "

(2n + 1)!

x2k+1

x → 0.

sh x =

+ o x2n+2

k=0

(2k + 1)!

cos x = 1 −

x2n

− . . . + (−1)n

+ o x2n+1

" "

(2n)!

x2k

2n+1

x → 0.

cos x =

(−1)

+ o x

(2k)!

k=0

x2n+1

sin x = x −

− . . . + (−1)n

+ o x2n+2

" "

(2n + 1)!

x2k+1

(−1)k

x → 0.

sin x =

+ o x2n+2

k=0

(2k + 1)!

(1 + x)α = 1 + αx +

α (α − 1)

x2 +

α (α − 1) (α − 2)

+ . . . +

α (α − 1) . . . (α − (n − 1))

xn + o(xn)

" "

(1 + x)α = Cαk xk + o(xn) , $"

x → 0, α / N, α = 0,

k=0

= 1, Ck =

α(α−1)...(α−(k−1))

, k = 1, 2, . . . ; ")

(−1)k xk + o(xn)

x →

1 + x

k=0

	1		n
	1	=		+ o(xn)	x → 0.
			xk
1	− x		xk
1	− x		k=0

ln (1 + x) = x −	x2	+	x3	− . . . + (−1)n−1			xn
ln (1 + x) = x −		+		− . . . + (−1)n−1			n
2		3					n
		n
ln (1 + x) =		(−1)k−1			xk	+ o(xn)
ln (1 + x) =		(−1)k−1			k	+ o(xn)
		k=1			k
		k=1

+ o(xn)

x → 0;

	n
	xk
ln (1 − x) =	−		+ o(xn) x → 0.

	k=1	k

f (x) ! " f (2n+1) (0)#$


	n
f (x) =	f (2k) (0)					+		x → 0.
				x2k			o x2n+1		%
			(2k) !
	k=0
f (x) ! " f (2n+2) (0)#
$
	n
f (x) =	f (2k+1) (0)							x → 0.
					x2k+1		+ o x2n+2		&
		(2k + 1) !
	k=0

'$ ( %

& ! ) $ $ #

* ( ( $# " +

) $ , # -

0 !

x0 $ - #

	,
x0-
		!

" ( ! 1 !

( (- 2			n
	n		n		xk + o(xn) , x → 0,
f (x) =	a xk + o(xn) , g (x) =		b		xk + o(xn) , x → 0,
	k			k
	k=0	n	k=0
1) f (x) ± g (x) =		n		)xk + o(xn) , x → 0;
1) f (x) ± g (x) =		(a ± b		)xk + o(xn) , x → 0;
		k	k
		k=0
	n				k

2) f (x) g (x) = ck xk + o(xn) , x → 0, $ ck = aibk−i.

k=0 i=0

3 +

$ # * + #

" ( ' ./ # - &-

F (x) = f (ϕ (x)) o(xn)# $ ϕ (x) = o(1) x → 0#

" * + 4

. ! ϕ (x) o(xn)5

! f (y) o(yn)5

+ y !

ϕ (x)5

ϕ (x) = Axm m N f (y) = ak yk +

k=0

+ o(yn)

F (x) = f (Axm) = Ak ak xmk + o(xmn) , x → 0.

k=0

! " f (x) =

α(x)

α (x) ·

1+β(x)

# β (x) → 0

1+y

" f (x) =

g(x)

g (x)

h(x)

h (x)

$ f (x) h (x) = g (x)

$ ! f (x)

( !

(	! '
)
(	! #	! f (x)

" ' f (n+1)(0)

f (x) = ak xk + o(xn) , #

k=0

	n	ak
f (x) = f (0) +		ak
			xk+1 + o xn+1	, ,+-
	k=0	k + 1	xk+1 + o xn+1	, ,+-

# # . ! f (x)

# # .

f (x) #

# f (0)

f (x)

g(x)

" f (x) = axn + o(xn) g (x) = bxn + o(xn) , x → 0, b = 0.

. # lim	f (x)	= lim	axn + o(xn)	=	a	.

x→0 g (x)		x→0 bxn + o(xn)			b

(f (x)) g(x)

" f (x) = 1 + axn + o(xn) , x → 0, a = 0 g (x) = bxn + o(xn) , x → 0, b = 0.

1		1		a
. # lim f (x)	g(x)	= lim (1 + axn + o(xn))	(bxn+o(xn))	= e		.
					b
x→0		x→0

							x → 0
2x + 3x + o x			− x + 3x		2	+ o x
	2		3			3		= x + o x3	.
	2x + 3x2	+ o x3		− x + 3x2 + o x3

o x3 − o x3 = o x3

3x + 5x2 + x4 − o x4 1 + 5x − x3 + o x3 x → 0

% ! &

''( ) !

! *

3x + 5x	+	x	4	+ o x	4	+
2	+ 25x	+				−
+ 15x				o x	4
2	3	− 3x				=
				+ o x	4
= 3x + 20x			4
	+ 25x − 2x + o x .
2	3		4	4

+ , o x4 x → 0

-! #

! !$


o xk		k

	% # . #$

f (x) = ex + x2|x| o(xn) /

# - x0 ! , ! , " "

% g (x) = x2|x| g (0) = g (0) = g (0) = 0 g (0)

" % 2 # . #$ g (x) o(xn) * g (x) = o(x) n = 13

g (x) = o x2 n = 23 n ≥ 3

" ) !

#$ &'4(

f (x) = 1 + x + o(x) n = 1 3 f (x) = 1 + x + x22 + o x2

n = 23 n ≥ 3 "

# -

, "

+ !

% # . #$

√

f (x) = ex ·

1 + x o x2

5$ #$ -

ex 1

√

1 + x

1 x → 0

! #$ *

f (x)

1 + x +

+ o x2

1 +

−

+ o x2

! 6

f (x) = 1 +

−

+ o x2

+ x 1 +

+ o(x) +

7x2

, x → 0.

(1 + o(1)) = 1 +

+ o x2

f (x) = sin x · ln (1 + x) o x5

sin x x ln (1 + x) x x → 0 sin x

ln (1 + x) o x4

f (x) = x −

+ o x4

x −

−

+ o x4

= x x −

−

+ o x4

−

x −

+ o x2

−

= x2

−

+ o x5

, x → 0.

" " # $

! % #

x + 2x2 + 3x3 + o x3 2 = x2 + 2x2 2 + 3x3 2 +

+ 2 x · 2x2 + x · 3x3 + 2x2 · 3x3 +o x3 x + 2x2 + 3x3 + o x3 .

f (x) = ex−x2 o x3

f (x) " & ''(')* + x − x2 x x → 0 , -

%
et = 1 + t +	t2	+	t3	+ o t3 % t = x − x2	→ 0
	2
x → 0 %		6

			x − x2 2		x − x2 3
f (x) = 1 +	x − x2	+		+		+ o x3	.
f (x) = 1 +	x − x2	+	2	+	6	+ o x3	.
			2		6

f (x) = 1 + x − x2 − 5x3 + o x3 , x → 0.

2 6

f (x) = esin ln(1+2x) o x3

/ f (x) "

ln (1 + t)

t − t2

+ t3

+ o t3

% t = 2x → 0 x → 0

(2x)

+ o x3

= 2x−2x2 +

8x + o x3

ln (1 + 2x) = 2x−

! u = 2x − 2x2 +

8x3

+ o x3

u → 0

x → 0 sin u = u − u3 + o u3

, %

8x3

sin ln (1 + 2x) = 2x − 2x2 +

+ o x3

−

(2x + o(x))3 =

0 y = 2x − 2x2 +

= 2x − 2x2 +

4x3

+ o x3 .

+ o x3

4x3

y → 0 x → 0

ey = 1 + y +

+ o y3

4x3

f (x) = 1+ 2x − 2x2 +

+ o x3

2x − 2x2 + o x2

= 1 + 2x −

4x3

(2x + o(x))3 + o x3

+ o x3

!" #

f (x) = exp

sin

2x − 2x2 +

+ o x3

8x3

= exp

2x − 2x2 +

+ o x3

−

(2x + o(x))3 + o x3

= exp 2x − 2x2 +

+ o x3

4x3

= 1 + 2x − 2x2 +

+ o x3

2x − 2x2 + + o x2

4x3

(2x + o(x))3 + o x3

= 1 + 2x −

+ o x3

, x →

$ !

f (x) = arcsin x3

o x5

ln(1+x2)

1 + x

→ 0

arcsin x

arcsin x3

o x7

1 + x2

& o x6

" ' #

x3 + o x7

x + o x5

f (x) =

x2 −

+ o(x6)

1 −

+ o(x4)

− −

−

x + o x5

+ o x4

+ o x2

x + o x5

1 +

−

+ o x4

= x+

−

+ o x5

! n" #$

$ ϕ (x) = Axm, m N" '

! $

( $ f (x) = tg x o x6 "

' "

tg x	=	cos x		!	cos x · tg x =	sin x"
			sin x
y	=		tg x
(

(

o x6

)

1 −

+ o x5

ax + bx3 + cx5 + o x6

x −

+ o x6

120

)

x :

a = 1;

x3 : −

+ b = −

;

x5 :

−

+ c =

120

* a = 1, b =

, c =

15 " #

tg x = x +

x5 + o x6

, x → 0.

+ !

(

y = th x o x6

" +

th x = x − 13 x3 + 152 x5 + o x6 , x → 0.

( $

f(x) = arcsin x o x6 "

, (

o x6 )

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.20181.4 Mб14Ромер Глава 8.doc
#
03.06.2015251.68 Кб9РТ Билеты осень 2012.docx
#
03.06.2015887.3 Кб20РТО Р2002-JF.doc
#
03.06.201581.41 Кб19Русское войско в 16 веке.doc
#
01.07.2025107.01 Кб0С.А. Амброзевич. Оптическая нелинейность коллои...doc
#
03.06.20151.05 Mб41С.В. Иванова"Формула Тэйлора и её применение".pdf
#
02.11.2018587.26 Кб16самый краткий справочник.doc
#
27.03.2016552.22 Кб59Сборник лекций по общей теории относительности(С. Н. Вергелес).pdf
#
03.06.20154.82 Mб17Свободный_полет.pdf
#
01.07.20255.8 Mб0Семинар правила проведения соревнований.docx
#
03.06.2015263.13 Кб293Синтаксис ассемблера intel.pdf