математика
.pdf
Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике
так, чтобы ни одного из них выбросить было нельзя, а суммарная длина дежурств была сколь угодно близкой к удвоенному периоду наблюдения.
Ответ: 2 5 24 500 = 120 тыс. руб.
9. В правильную треугольную призму ABCA1B1C1 вписан шар
радиуса 
2 . Найдите площадь боковой поверхности вписанного в шар прямого кругового цилиндра, основание которого лежит в
плоскости, проходящей через точку A и середины рёбер BB1 и CC1 . Решение. Обозначим через r радиус шара, а через D, D1 , M и N – середины рёбер BC, B1C1 , BB1 и CC1 соответственно. Плос-
кость AA1D1 есть центральное сечение шара. Пусть h – высота ци-
линдра, тогда радиус его основания равен R = r2 − h2 . Пусть P –
4
точка пересечения отрезков DD1 и MN . Справедливы соотноше-
ния OP = r , PD = r , AD = 3r , где O – центр шара. Если O1 – проекция точки O на основание цилиндра, то из подобия прямоугольных треугольников APD и OO1P получаем
OO1 |
= |
PD |
|
OO1 |
= |
|
r |
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
OP |
|
AP |
|
|
r |
|
|
9r2 |
+ r2 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
||||||
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
. Значит, R = |
3r |
|
|
. |
||||||||||
Тогда OO = |
10 |
, |
h = 2 OO = |
|
10 |
|
10 |
||||||||||||||||
|
|
1 |
10 |
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
10 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Площадь боковой поверхности Sбок. = 2π Rh = 6π5r2 .
Ответ: 125π
10. Прямоугольная таблица состоит из 5681 одинаковой клетки. Петя и Вася пронумеровали клетки натуральными числами 1, 2, …, 5681 подряд. Петя нумеровал клетки по строкам слева направо (сначала первую строку, затем вторую и так далее), а Вася
40
Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике
– по столбцам сверху вниз (сначала первый столбец, затем второй и так далее). Оказалось, что ровно в 5 клетках их номера совпали. Чему равна сумма числа строк и числа столбцов в этой таблице?
Решение. Пусть в таблице m строк и n столбцов, а клетка, получившая одинаковые номера, расположена в строке с номером i и в столбце с номером j. Тогда, если считать по строкам, в этой
клетке стоит число (i −1) n + j , а если считать по столбцам, то это
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
j |
|
) |
m + i |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
( |
) |
число равно |
|
−1 |
. |
По условию |
|
i −1 n + j = |
|
j −1 m + i |
||||||||||||||
|
( |
) |
|
( |
|
|
) |
= |
( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
i −1 |
|
|
n −1 |
|
j −1 |
|
m −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Если m = 1 или n = 1, то номера Пети и Васи совпадут во всех |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d = |
НОД |
( |
|
|
|
) |
|
клетках. |
Значит, |
m > 1 и |
n > 1. Пусть |
|
n −1, m −1 , тогда |
|||||||||||||||||
отсюда |
|
n −1 = pd , |
m −1 = qd , где |
|
НОД ( p, q) = 1. |
Получаем |
||||||||||||||||
( |
|
|
) |
= |
( |
j − |
) |
q . |
Поэтому i −1 = qk , |
j −1 = pk , |
k = 0,1, ..., d . |
|||||||||||
|
i −1 p |
|
1 |
|||||||||||||||||||
Следовательно, количество клеток, получивших одинаковые номе-
|
= НОД |
( |
|
) |
+1. |
ра, равно d +1 |
|
n −1, m −1 |
|||
Так как |
5681 = 13 19 23 , |
то n = 13 , m = 19 23 = 437 или, |
|||
наоборот, n = 437 , m = 13 . В том и другом случае m + n = 450 .
Ответ: 450.
41