Если , тоимеет координаты:

x₁+𝛍y₁; x₂+𝛍y₂}

П04. Трёхмерное векторное пространство.

R³- трёхмерное пространство. В качестве базисных векторов можно взять любые три некомпланарных вектора (не лежащих в одной плоскости). Пусть это будут вектора .

Любой вектор представлен линейной комбинацией:

=₁+₂+₃

Рассмотрим прямоугольную декртову систему координат (0хуz).

Обозначим орт оси (OX) , орт оси (OY) , орт оси (OZ)

Тогда система этих векторов образует естественный базис; .

z

х

у

0

A

z

y

x

В естественном базисе имеем следующую формулу разложения вектора:

x+y +z (разложение вектора по осям координат).

Допускается так же запись, где указываются только координаты вектора в естественном базисе:

Заметим, что длина вектора находится через координаты вектора:



Т.к. координаты вектора – это проекции вектора на оси координат, то по свойству проекций, все линейные операции над векторами выполняются и над проекциями:

Если , тоимеет координаты:

x₁+𝛍y₁; x₂+𝛍y₂ ;x₃+𝛍y₃}

Замечание:

Если известны координаты начала и конца вектора , т.е. А(х₁;y₁;z₁); B(x₂;y₂;z₂), то координаты вектора находим по формуле:

={x₂-x₁; y₂-y₁;z₂-z₁}

Длина вектора находится тогда по формуле:



Пример:

Дано: ;A(-1;2;-3); B(1;2;1); .

Найти: 1).

Решение:

1){1+1;2-2;-1-3}2;0;4}={5*2-3*2; 5*0-3*(-3); 5*4-3*4}

={4;9;8}

2)=;={

Примечание:

Координаты единичного вектора (орта) называются направляющими косинусами и обозначаются: {

при этом:

§3 Скалярное произведение векторов и его свойства.

Определение:

Скалярным произведением векторов называется число, обозначаемое, которое вычисляется по формуле:

или Пр=*Пр.

(=𝛂

α

Геометрические свойства скалярного произведения.

1. >0 𝛂90⁰

2. 0  90⁰𝛂180⁰

3. 

4. Если то; если то=- .

5. Скалярный квадрат =² 

Примечание

===1;

Алгебраические свойства скалярного произведения.

1. 

2. (=(=

3. 

Замечание:

1)(²-²

2)(²=²+2²

3)=

Вычисление скалярного произведения через координаты вектора.

Если ;, то

x₁*x₂+y₁*y₂+z₁*z₂ (легко проверить непосредственным умножением с использованием свойств скалярного произведения)

(формула для вычисления угла между векторами)

Пример 1.

Дано: ∆АВС; A(2;-1;6); B(0;-4;5); C(9;-8;6).

Найти : угол при вершине В.

Решение:

В

А

С

={0-2; -4-(-1); 5-6}

={-2;-3;-1};=

={9-0;-8-(-4);6-5}={9;-4;1}; ==7.

=-2*9+(-3)*(-4)+(-1)*1=-7

==-; B=arcos(≈100⁰89^/.

Пример 2.

Дано:

Найти: Пр(

Решение:

Пусть  

В дальнейшем нам понадобится скалярное произведение:

**=4*3*(-0,5)=-6.

Пр=

=-9²-16²+26=-9*16-16*9+26*(-6)=-444

==²-4²=16+24+36=76

Пр==≈-50,93

Ответ : ≈-50,93

§4.Векторное произведение.

Определение правой (левой) тройки.

Рассмотрим три некомпланарных вектора, исходящих из одной точки: Если смотреть из конца вектораи поворот от первого векторако второму векторупротив часовой стрелки будет выполняться по наименьшему углу, то говорят, что эти вектора в данном порядке образуютправую тройку. В противном случае будем иметь левую тройку.

Правая тройка

Левая тройка

Определение векторного произведения.

Векторным произведением двух векторов называетсявектор, который обозначают

Пусть . Тогда по определению имеем:

1)

2)три вектора образуют правую тройку.

3)*

Длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах

Заметим, если

Свойства векторного произведения.

!!!

Если В частности:

1. Антикоммутативность.

2.(

3.Дистрибутивность

Рассмотрим векторное произведение для орт координатных осей и результат занесём в таблицу.

×
			-
	-
		-

Пусть вектора заданы своими координатами.

Если ;, то

x₁*y₂*+x₁*z₂*(-)+y_1*x₂*(-+y₁*z₂*+z₁*x₂*+z_1*y₂*(-

=(y₁z₂-z₁y₂)+(x₁y₂-y₁x₂)+(z₁x₂-x₁z₂)

Чтобы не запоминать эту формулу можно использовать символический определитель:

===

=(y₁z₂-z₁y₂)+(x₁y₂-y₁x₂)+(z₁x₂-x₁z₂)

Пример 1.

Дано: ∆АВС; A(2;-1;6); B(0;-4;5); C(9;-8;6).

Найти S ∆ABC(площадь треугольника)

Решение:

В

А

С

S∆ABC=

1/2 s (параллелограмма)

={9;-4;1}; ={-2;-3;-1}

S∆ABC=1/2 =

==7+7-35

==21 S∆ABC=

Ответ: кв.ед.

Пример 2.

Дано: ;2;=150⁰.

Найти площадь параллелограмма , построенного на векторах

Решение:

Длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах

=×(2)=6(=12(

=12⁰=12*4*3*0,5=72.

Ответ: 72кв.ед.

Пример3.

Дано: ;.

1)Построить ортонормированный базис.

2) Разложить вектор в этом базисе.

Решение:

1) -2𝛂+(-4)*2+1*(-3)=0 -2𝛂=11 𝛂=-5,5

-2;-4;1}; 

-11;2;-3}; 

90⁰



=10-17-48;

(- ортогональный базис. Для нахождения ортонормированного базиса найдём соответствующие орты.

{-2;-4;1}=

Ортонормированный базис

={-11;2;-3}=

={10;-17;-48}=

2); разложение вектора в ортонормированном базисе.

В естественном базисе координаты данного вектора: 2;-5;0}

Для нахождения координат вектора в ортонормированном базисе используем формулы:

х=(-2*2+(-5)*(-4)+0)=

y==(-11*2+2*(-5)+0)=-

z=(10*2+(-17)*(-5)+0)=

Ответ:

§5 Смешанное произведение.

Пусть дана тройка векторов ;.

Если сначала найти векторное произведение , а затем полученный вектор скалярно умножить на третий вектор, то мы получим число, которое обозначают (и называют смешанным произведением векторов

Определение: Смешанным произведением векторов называется число полученное по правилу:

(=(

Свойства смешанного произведения.

1.Смешанное произведение векторов не изменится при циклической перестановке множителей.

(

2. >0  правая тройка

3. 0  левя тройка

4. =0 вектора компланарны.

5. Смешанное произведение трёх некомпланарных векторов по модулю равно объёмуVпараллелепипеда, построенного на данных векторах, как на рёбрах:

=V

; ;x₃+y₃+z₃.

=(y₁z₂-z₁y₂)+(x₁y₂-y₁x₂)+(z₁x₂-x₁z₂)

((y₁z₂-z₁y₂)x₃ +(x₁y₂-y₁x₂)y₃ +(z₁x₂-x₁z₂)z₃=

Пример:

Дан тетраэдр, вершинами которого являются точки А(1;-1;2); В(2;1;2);С(1;1;4); D(6;-3;8).

Найти объём тетраэдра и длину высоты H, опущенной из вершины D на грань АВС.

Решение:

D

H

C

В

А

V(тетраэдра)=V(параллелелпипеда)

Найдём смешанное произведение векторов:

={1;2;0}; ={0;2;2};={5;-2;6}

(==12+20+4=36V(параллелелпипеда)=36

V(тетраэдра)=6куб.ед.

H=; где площадь основания параллелепипеда равна:



==4-2+2 ==2

H==3

Ответ:V=6куб.ед; H=3

Лекция 2. (для тех, кто хочет знать больше)

§6.Понятие об «n» мерном пространстве Rⁿ.

П⁰1 Определение:

Обозначим Rⁿ множество, элементы которого (векторы), заданы в виде:

=(a₁;a₂;…;a_n)^Т a_iR; i=1;2;…;n

В эом множестве введён нулевой элемент:

=(0;0;…;0)

В этом множестве введены линейные операции.

1)Сложение:

Для любых векторов =(a₁;a₂;…;a_n)^Т и =(b_1;b₂;…;b_n)^T ;Rⁿ однозначно определён вектор, называемый суммой векторов, по следующему правилу:

(a₁+b₁;a₂+b₂;…;a_n+b_n)^T

2)Умножение вектора на скаляр.

Для любого вектора (Rⁿ) и числа R однозначно определён вектор, обозначаемый , по правилу:

=(a₁;a₂;…;a_n)^T

Свойства сложения.

1. Свойство коммутативности.

Для любых векторов

2)Свойство ассоциативности:

Для любых векторов

3)Свойство нулевого вектора:

для любого

4)Существование противоположного вектора:

для любого существует противоположный вектор, который обозначают-:

5)Свойство обратимости:

Для любых векторов существует вектор :.

Вектор и обозначается:

(

Свойства умножения вектора на скаляр.

1) *(𝛍

2) (

3) 1

4) -1

5) 0

Пространство Rⁿ в этом случае называют линейным пространством, а его элементы векторами.

П⁰2. Линейно зависимые и независимые системы векторов.

Определение:

Система векторов называетсялинейно зависимой, если найдутся числа: ₁; ₂;…;_n (не все равные нулю):

₁+₂+…+_n==(линейная комбинация векторов равна нулевому вектору при условии, что не все числа_i равны нулю).

Если =тогда и только тогда, когда все числа_i=0, i=1,2,…,n, то система векторов называетсялинейно независимой.

Критерий линейной независимости.

;;…;

Рассмотрим матрицу , составленную из координат этих векторов:

A=

По определению линейной независимости можно составить матричное уравнение:

A_m×n*_n×1=O_m×1; где = это однородная система, которая имеет единственное нулевое решение , если ранг матрицы А равен числу неизвестных, т.е. r(A)=n.

Система векторов ;;…;

линейно независима  r(A)=n

Замечание:

Если m=n, то однородная система имеет единственное нулевое решение по теореме Крамера, если det A≠0.

Пример 1.

Даны три вектора R⁴.

Определить лнейную зависимость или независимость векторов.

=;=;=.

Составим матрицу координат и определим её ранг, приведя её к ступенчатому виду.

-2

А=~~

r(A)=2; n=3r(A)≠nсистема имеет ненулевые решения, т. е. система векторов линейно зависима

Пример 2.

Такой пример будет в тесте!

. Даны три вектора R³ .

Определить лнейную зависимость или независимость векторов.

=;=;.

определитель матрицы координат:

=0+4+15-(0-20+1)=38≠0 система векторов линейно независима.

П⁰4.Базис в пространстве Rⁿ. Разложение вектора в этом базисе.

Определение:

Размерность линейного векторного пространства обозначается

dim Rⁿ. (Размерность равна «n», что определяет число координат в задании вектора).

Определение:

Система векторов называется базисом, если выполнены два условия: 1)вектора линейно независимы, 2) dim Rⁿ=n

Предложение:

Любой вектор Rⁿ однозначно может быть разложен в этом базисе, т.е. представляется линейной комбинацией базисных векторов:

Числа x₁;x₂;…;x_n называют координатами вектора в этом базисе.

Для нахождения координат вектора в заданном базисе необходимо решить систему:

Пример 3.

Используя результат примера 2, разложить вектор в этом базисе.

=

(проверьте все координаты базисных векторов)

Составим расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду.

=~~

r(=r(A)=3; n=3система имеет единственное решение.

Восстановим систему по ступенчатой матрице.



:

=1*-2*

П⁰4. Скалярное произведение в пространстве Rⁿ.

Определение:

Скалярным произведением векторов =(a₁;a₂;…;a_n)^Т и =(b_1;b₂;…;b_n)^T ;Rⁿ называется число, полученное по формуле:

(=a₁*b₁+a₂*b₂+…+a_nb_n

Свойства скалярного произведения.

1. (

2. (

3. (

4. (

Длина вектора определяется по формуле:

=

Замечание.

Линейное пространство называется евклидовым, если введено скалярное произведение. Таким образом, пространство Rⁿ является евклидовым «n» мерным векторным пространством.

Неравенство Коши-Буняковского.

Модуль скалярного произведения двух векторов не превышает произведения их длин.

(

Следствие:

≤ 1

=

Ещё одна формула для вычисления скалярного произведения, которой мы уже раньше пользовались:

(

Определение:

Будем говорить, что два вектора иортогональны, и записыватьтогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

=0

Определение ортонормированного базиса.

Базис , составленный из системы векторов

;называется ортонормированным, если вектора попарно ортогональны и длины их равны 1.

;.

Важное свойство ортонормированного базиса:

В ортонормированном базисе координаты любого вектора

=(,будут находиться по формулам Фурье, а именно:

x₁+x₂+…+x_n ,

₁=(;x₂=(; …;x_n=(

Это интересно!

Рассмотрим систему векторов: ;, где

=(1,0,…,0)^T; =(0,1,0,…,0)^T; … ;=(0,0,…,0,1).

Проверим, что эти вектора образуют ортонормированный базис.

1)detA==1≠0 система линейно независимабазис в Rⁿ по определению.

2)легко проверить, что это ортонормированный базис, т.к.

(

Такой базис будем называть естественным в пространстве Rⁿ

Заметим, что векторпространстваRⁿ в естественном базисе имеет разложение:

=a₁ +a₂ +…+a_n

Таким образом, координаты вектора в естественном базисе совпадают с заданием вектора в евклидовом пространстве Rⁿ

Например, естественный базис в пространстве R²  это орты координатных осей ;, при этом разложение вектора в этом базисе записывают:=x +y.

Аналогично, естественный базис в пространстве R³  это орты координатных осей ;,при этом разложение вектора в этом базисе записывают:=x +y+z

Пример (аналогичный пример есть в итоговом тесте)

1. Проверить, что данный базис является ортонормированным:

=(2;2;-1)^Т; =(-1;3;4)^Т; =(11;-7;8)^Т

Найти координаты вектора =(1;-2;0)^Т в этом базисе.

Проверим, что вектора попарно ортогональны.

(=(2*(-1)+2*3+(-1)*4)=0;

((2*11+2*(-7)+(-1)*8)=0

Ортогональный

базис

(=(-1)*11+3*(-7)+4*8)=0

2. Проверим, что этот базис нормированный, т.е. длины векторов равны 1.

==1;

==1;

Ортонормированный базис

==1

3. х₁ + х₂ +х₃  формула разложения данного вектора в ортонормированном базисе.

Координаты вектора найдём по формулам Фурье:

₁=(=(2*1+2*(-2)+0)=-;

x₂=(=(-1*1+3*(-2)+0)=-;

x₃=(=(11*1+(-7)*(-2))=

Ответ: + -+