Теорема (необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов)

Для того чтобы два вектора были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы существовало число, такое что справедливо равенство: .

Доказательство:

Необходимость:

Пусть вектора коллинеарны .

1)вектора сонаправлены; пусть число=

; *=

2)вектора противоположно направлены;=-

; *=

(необходимость доказана)

Достаточность:

Если , то по определению операции умножения вектора на скаляр  вектора коллинеарны (достаточность выполнена)

теорема доказана.

Важная информация.

Пусть дан вектор . Обозначимединичный вектор или орт вектора

=1; .

На основании предыдущей теоремы имеем формулу для нахождения орта данного вектора:

=

Вернёмся к векторной проекции вектора на ось.

Пусть векторная проекция на осьL;

орт оси; т.к. L, то существует число х:

=х(*)

Определение:

Число х, определяемое равенством (*) называется скалярной проекцией вектора на осьL.

Замечание:

х=

Теоремы о проекциях.

B

1.Пр_L

φ

A

L

2.Пр_L(Пр_LПр_L

L



3.Пр_L=Пр_L

L

§2. Геометрическое пространство векторов.

П⁰1. Линейная зависимость и независимость векторов.

Будем рассматривать множество векторов, в котором введены линейные операции, обладающие рассмотренными выше свойствами.

В этом случае говорят, что мы имеем линейное пространство векторов.

Определение:

Система векторов называетсялинейно зависимой, если найдутся числа: ₁; ₂;…;_n (не все равные нулю):

₁+₂+…+_n==(линейная комбинация векторов равна нулевому вектору при условии, что не все числа_i равны нулю).

Если =тогда и только тогда, когда все числа_i=0, i=1,2,…,n, то система векторов называетсялинейно независимой.

Определение:

Система векторов называется базисом, если выполнены два условия: 1)вектора линейно независимы, 2) любой вектор можно представить в виде линейной комбинации данных векторов , т.е.

Числа с₁;с₂;…;с_n называют координатами вектора в этом базисе.

Если в пространстве векторов существует базис, состоящий из «n» элементов, то говорят, что размерность пространства равна «n».

Имеем пространство векторов, обозначаемое Rⁿ .

П⁰2. Одномерное векторное пространство.

R¹ Имеем числовую ось. R¹

Пусть базис этого пространства будет вектор

Т.к. любой вектор числовой оси коллинеарен , то можно найти число:

(=±) координата вектора в этом базисе.

Множество векторов вида: { называют линейной оболочкой, порожденной вектором

Рассмотрим орт оси, который обозначим (L; .

Тогда =х; где координату вектора в этом базисе находим по формуле:

х=; если ;x=- ; если .

П⁰3. Двумерное векторное пространство.

R² - это плоскость.

В качестве базисных векторов возьмём два неколлинеарных вектора

=₁₂

Любой вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.

Тогда множество вида: {₁₂ – линейная оболчка порождённая векторами .

Рассмотрим прямоугольную систему координат (х0у).

Обозначим орт оси абсцисс , а орт оси ординат .

Тогда система этих векторов образует естественный базис.

у

A

y

х

j

i

O

x

В естественном базисе имеем следующую формулу разложения вектора:

x+y (разложение вектора по осям координат).

Допускается так же запись, где указываются только координаты вектора в естественном базисе:

Заметим, что длина вектора находится через координаты вектора:



Т.к. координаты вектора – это проекции вектора на оси координат, то по свойству проекций, все линейные операции над векторами выполняются и над проекциями: