йцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъчсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсукенгшщзхъфывапролджэячс

Лекции по теме «Векторная алгебра» Дисциплина «Линейная алгебра» Анисимова Н.П.

Лекция 5. Глава 2. Элементы векторной алгебры.

§1.Множество векторов. Линейные операции над векторами.

П⁰1.Определение вектора .Основные понятия.

Определение:

Вектором называется упорядоченная пара точек. =, где А – точка начала, В—точка конца.

Геометрическая интерпретация: вектор – это направленный отрезок.

Основные характеристики вектора:

1. скалярная характеристика длина вектора, которую будем обозначать : =;

2. направление

Для того чтобы задать вектор, достаточно знать:

1) длину и направление

или

2)координаты точки начала и конца

Определение равенства векторов:

Два вектора равны 

1) (длины векторов равны)

2) вектора сонаправлены ()

Определение нулевого вектора.

опр

=

Определение коллинеарных векторов.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых (можно сказать, что они параллельны).

Обозначение:

Различают: сонаправленные вектора, т. е. имеющие одно направление и противоположно направленные.

П⁰2 .Сложение векторов.

Определение:

Суммой векторов , обозначаемый , который можно получить по правилу треугольника:

сначала строим вектор построенного вектора строим векторогда вектор суммы соединяет начало первого векторас концом вектора

Замечание:

1.Можно получить другое правило сложения в случае неколлинеарных векторов.

Правило параллелограмма:

Из одной точки строим два данных вектора и достраиваем до параллелограмма.

Тогда диагональ этого параллелограмма, исходящая

из общей вершины , и будет вектором суммы данных векторов.

2.Правило суммы можно распространить на любое число слагаемых (правило ломаной).

Для получения суммы нескольких векторов нужно каждый следующий вектор начинать строить из конца предыдущего, а результирующий вектор будет соединять начало первого вектора с концом последнего.

Свойства сложения:

1. Свойство коммутативности.

Для любых векторов

2)Свойство ассоциативности:

Для любых векторов

3)Свойство нулевого вектора:

для любого

4)Существование противоположного вектора:

для любого существует противоположный вектор, который обозначают-:

(Легко проверить, что  -

5)Свойство обратимости:

Для любых векторов существует вектор :.

Вектор и обозначается:

Чтобы получить вектор разности векторов нужно построить оба вектора из одной точки и соединить концы векторов в сторону уменьшаемого вектора.

П⁰3.Умножение вектора на скаляр.

Определение:

Для любого вектора и числаR однозначно определён вектор, обозначаемый  по следующему правилу:

1) *

2)пусть =, тогда: при>0 

при  0

при =0

Свойства умножения вектора на скаляр.

1) *(𝛍

2) (

3) 1

4) -1

5) 0

П⁰4. Векторная и скалярная проекция вектора на ось.

Пусть дана ось L и вектор Спроектируем начало и конец данного вектора на ось, т. е. опустим перпендикуляры. На осиL получим векторную проекцию данного вектора, начало и конец которого являются соответствующими проекциями начала и конца данного вектора.

А

В

L

A₁

B₁

Если точка А –начало вектора , то А₁=Пр_LА.

Если точка В –конец вектора , то В₁=Пр_LВ.

векторная проекция вектора на осьL (компонента вектора)

Орт оси  это единичный вектор , который сонаправлен c осью L:

: