3.Если r(a)≠r(, то система несовместна.
Это может быть в том случае, когда имеем хотя бы два противоречивых уравнения, например, если левые части уравнений равны, а правые нет.
Пример 3.
Составим
расширенную матрицу:
-2
-5
=
~
-2
1.r(A)=2;
r(
=3
(имеем противоречие 0=3 !)
Ответ: система несовместна
П0 8.Однородные системы.
Запишем однородную систему в матричном виде:
Am×n*Xn×1=Om×1
Заметим, что ранги матриц системы и расширенной матрицы равны, т.к. нулевой столбец не меняет ранга матриц.
Очевидно, что все однородные системы имеют нулевое решение.
Вывод:
Если r=n (ранг матрицы равен числу неизвестных), то система имеет единственное нулевое решение.
Если rn, то система имеет бесконечное множество решений, в том числе и ненулевые.
Обратите внимание!
По теореме Крамера:
Система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда главный определитель системы равен нулю (det A=0)
Пример 4.
При исследовании однородных систем достаточно рассматривать только матрицу системы.
-5
-6
А=
~
1.r=2
2.n=3; r=2система имеет бесчисленно множество решений.
3.В матрице выделен базисный минор.
Число базисных переменных равно 2.
Число свободных переменных находим по формуле:
m=n-r m=1.
Базисными будут х1 и х2, а свободная переменная х3.
Для нахождения общего решения восстановим равносильную систему по ступенчатой матрице:
Пусть х3=с
Проверка:
Подставим, например, во второе уравнение данной системы
Это достаточно для проверки, т.к. 3-е уравнение это сумма двух первых уравнений.
+3с=0
(верно!)
Ответ:
Общее решение системы:
Частное решение системы: (пусть с=9)
Х0
=
