Замечание:

Напомним, что если в определителе одна из строк (столбцов) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю. Ранг матрицы «r» определяет в матрице число линейно независимых строк (столбцов). Это означает, что в базисном миноре ни одна из строк (аналогично столбцов) не может быть получена , как линейная комбинация строк (столбцов).

r(A)=r(A^T)

Элементарные преобразования над матрицами, не меняющие её ранг. Ранг матрицы не меняется:

1. от перестановки строк;

2. от удаления строки, являющейся линейной комбинацией других строк;

3. от удаления нулевой строки;

4. от сокращения элементов строки на общий множитель ≠0;

5. от добавления к любой строке линейной комбинации других строк.

С помощью этих преобразований любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице:

а₁к₁………………….а_1n a₁k₁; a₂k₂; ;a_rk_r≠0

0…..0 a₂k₂…………..a_2n k₁k₂…k_r

0……..0 a₃k₃………..a_3n

……………………………..

0……………0…a_rk_r…..a_rn

Покажем, что ранг такой матрицы равен числу её строк.

Составим минор порядка «r».

М_(1,2,…,r)^(k₁,^k₂^,….,k_r⁾==

***…*≠0

Пример:

Найти ранг данной матрицы:

А=~

~

-2

~

-5

r(A)=2

П⁰ 6. Теорема Кронекера-Капелли

.Пусть дана система линейных уравнений

(1)

или(2) А_m×n*Х_n×1=В_m×1

Если к матрице А добавить столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу системы:

=(А В)

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц, а именно матрицы системы и расширенной матрицы, равны. (r(A)=r()

Следствие из теоремы:

1)Система совместна  r(A)=r().

2)Если r(A)=r(=n, где n число неизвестных, то система имеет единственное решение.

3)Если r(A)=r(=r n, то система имеет бесчисленное множество решений, при этом «r» базисных переменных зависят от «m» свободных переменных (m=n-r)

П⁰ 7 Метод Гаусса для исследования систем линейных уравнений.

Составим расширенную матрицу системы и сведём её к ступенчатой матрице, у которой будет «r» строк.

Возможны следующие варианты:

1.r(A)=r(=r=n (ранги матриц равны и равны числу переменных)

В итоге матрица А сведётся к треугольной и система будет иметь единственное решение.

r=n

Пример 1:

+

=~ ~

: 4

(-2)

4

~~~

3

-5

~ ~

-1

-60

~

1.r(A)=r(=r=4система совместна.

2.n=4; r=4 n=r система имеет единственное решение.

3.По данной матрице восстанавливаем систему, которая равносильна данной и найдём решение системы.

Проверка ( подстановка в каждое уравнение подтверждает , что мы имеем верные равенства)

Ответ: (1;0;-2; 1)

2.r(A)=r(=rn

Если число неизвестных больше чем ранг матрицы, то система имеет бесконечное множество решений. При этом «r» базисных переменных будут выражаться через свободные. Число свободных переменных равно числу m=n-r.

Покажем исследование такой системы на примере.

Пример 2:

Составим расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду.

-3

-5

-1

=

~~.

1)r(A)=r(=2 система совместна.

2)n=4; r=2т.к. число неизвестных больше ранга матрицы, то система имеет бесчисленное множество решений.

Число свободных переменных определяем по формуле:

m=n-rm=4-2=2.

Итак, имеем 2 базисные и 2 свободные переменные.

В матрице выделен базисный минор это значит, что

х₁и х₂ будут базисными, а х₃ и х₄ будут свободными переменными.

3)Для нахождения общего решения по данной ступенчатой матрице восстановим равносильную систему:

Положим х₃=с₁; х₄=с₂

Общее решение этой системы запишем в виде матрицы-столбца:

Чтобы убедится в правильности полученного решения, нужно сделать проверку, подставив в каждое уравнение системы.

Т.к. два последних уравнения являются линейно комбинацией двух первых уравнений, а первое уравнение мы уже использовали при нахождении переменной х₁, то достаточно проверить второе уравнение:

3*(-(+с₁+с₂=

=-с₁+₂++с₁+с₂=1 (верно)

Если свободным переменным дать конкретные числовые значения, то мы получим частное решение.

Например: с₁=7; с₂=0Х⁰=