По это формуле мы получим единственное решение системы:

Х⁰=

П⁰3 Вычисление обратной матрицы.

Теорема (о существовании обратной матрицы)

Для того чтобы квадратная матрица А_n×n имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. определитель этой матрицы не равен нулю.

Доказательство:

Необходимость:

Пусть существует обратная матрица А^-1: . А*А^-1=А^-1*А=I

det(A*A^-1)=det(A)*det(A^-1)=det(I)=1det(A)≠0

(В противном случае равенство не выполняется)

Таким образом мы доказали, что если существует обратная матрица, то det(A)≠0

Достаточность:

Пусть det(A)≠0.

Докажем, что существует обратная матрица А^-1.

detA=∆=

Рассмотрим матрицу

B=, гдеA_ij  алгебраическое дополнение элемента a_ij матрицы А.

Докажем, что В=А^-1.

Пусть А*В=С=(с_ij)

По правилу умножения получим:

c_ij=(a_i1*A_j1+a_i2*A_j2+…+a_in*A_jn)=

(Использовали свойства определителя)

Таким образом С=I=.

Аналогично можно проверить, что В*А=I.

Таким образом по определению обратной матрицы :А^-1=В

Теорема доказана.

Замечание:

В теореме показан вид обратной матрицы , а именно:

1)Находим определитель матрицы А (∆=detA).

(если ∆=0, то матрица вырождена и у неё нет обратной матрицы)

2)Заменяем все элементы матрицы на соответствующие алгебраические дополнения : aijAij.

3)Транспонируем полученную матрицу и умножаем на коэффициент

В=А^-1

Пример:

; В=

∆=-16-15=-31≠0

А^-1=-

А^-1=

Х=А^-1*В

Х=*==

Ответ: Х⁰=

Если подставить в каждое уравнение x=1`;y=-1; z=2, то получим верные равенства.

Вывод:

1. Система совместна.

2. Имеет единственное решение.

3. Х⁰=

П⁰ 4 Решение квадратных систем по формулам Крамера.

Теорема Крамера.

Пусть имеем систему (3) А_n×n*Х_n×1=В_n×1

Рассмотрим следующие определители системы:

detA=∆=

(главный определитель системы)

и замещённые определители:

==

b₁*A_1i+b₂*A_2i+…+b_n*A_ni

i=

Если главный определитель системы не равен нулю, то система совместна, имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

(𝛂₁=;𝛂₂=;...;𝛂_n=)

Доказательство:

Т.к. ∆≠0, то существует обратная матрица, которая имеет вид:

А^-1=

Решение системы находим по формуле: Х=А^-1*В

Х⁰==*=

=.

Теорема доказана.

Решим предыдущий пример по формулам Крамера:

∆=-31; ∆₁==-56+25=-31;∆₂==

=208-252+195-120=31; ∆₃==-20-42=-62.

Ответ: (1; -1; 2)

Лекция 4.

п⁰5 Ранг матрицы.

Определение:

Пусть дана матрица

А_m×n=

Минором «к» порядка этой матрицы называется определитель «к» порядка, составленный из элементов этой матрицы , находящихся на пересечении любых её «к» строк и «к» столбцов.

Заметим, что к≤min(m,n).

Чтобы подсчитать число всевозможных миноров «к» порядка , полученных из матрицы А_m×n используют формулу для вычисления сочетаний: N=C_m^k *C_n^k; C_m^k=;C_n^k=; гдеn!=1*2*…*n

Пример:

А_3×4=. Составим все миноры 3-го порядка.

Можно проверить, что различных миноров 3-го порядка будет ровно четыре и все они равны 0.

М_(1.2.3)^(1.2,3)==0

(3-я строка получена суммированием 1-ой и 2-ой строк)

. М_(1.2.3)^(1.2,4)==0

(3-я строка получена суммированием 1-ой и 2-ой строк)

М_(1.2.3)^(1.3,4)==0

(3-я строка получена суммированием 1-ой и 2-ой строк)

М_(1.2.3)^(2,3,4)==0

(3-я строка получена суммированием 1-ой и 2-ой строк)

Рассмотрим миноры 2-го порядка .

(Таких миноров ровно 18)

Например: М_(1.2)^(1.2)==-6-4=-10≠0

Определение:

Базисным минором матрицы А_m×n называется любой её минор порядка «r» (r≤min(m,n) ), если он отличен от нуля, а все миноры порядка «r+1» либо равны нулю, либо не существуют.

Порядок «r» базисного минора называется рангом матрицы А, а её строки и столбцы, входящие в базисный минор , называются базисными.

Ранг нулевой матрицы принимается равным нулю.

Для ранга матрицы А приняты обозначения: r(A); rang A; rank A.

В предыдущем примере r(A)=2.