П02 Вычисление определителей квадратных матриц

1-го, 2-го и 3-го порядков.

1.А₁=(а₁₁)

det A₁=a₁₁

2. A₂=

det A₂=

3.А₃=

det A₃=

-*

Правило выбора знака.

1,2,3

2,3,1

3,1,2

3,2,1

2,1.3

1,3.2

1

3

2

+0

+

+

-

-

-

При вычислении определителей третьего порядка можно использовать следующие правила:

Правило треугольника (Саррюса)

*

*

*

*

*

*

*

*

*

+

*

*

*

*

*

*

*

*

-

Правило дописывания параллельного ряда.

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

+

1

2

3

1

2

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

-

П⁰3. Вычисление определителей треугольных и диагональных матриц любого порядка.

1. Пусть имеем треугольную матрицу порядка «n».

А=верхняя треугольная матрица;

нижняя треугольная матрица.

Тогда

det A=a₁₁*a₂₂*…*a_nn

2. Пусть имеем диагональную матрицу порядка «n».

=diag (a_11;a_22;…a_ii; a_nn); a_ij=0 если i≠j.

diag (a_11;a_22;…a_ii; a_nn)= a₁₁*a₂₂*…*a_nn

П⁰4. Миноры и алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы.

Пусть дана квадратная матрица порядка «n» А_n.

Рассмотрим определитель этой матрицы:

det A=A det(A)≠0

Определение :

Минором элемента называется определитель порядка «n-1», который получается из данного определителя удалением строки и столбца на пересечении которых стоит элемент .

Обозначение: М_ij

Пример: ∆=M₃₂=

Определение:

Алгебраическим дополнением элемента называется минор этого элемента, взятый со знаком по формуле: (-1)ⁿ.

А_ij=(-1)ⁿM_ij

В нашем примере: А₃₂=(-1)³⁺²М₃₂=-

П⁰5. Свойства определителей.

Свойство 1.

При транспонировании матрицы её определитель не меняется.

det A =det (A^T)

Доказательство проведём для определителя третьего порядка.

det A==

=

-*

det (A^T)==

=

-*.

Замечание:

Из этого свойства следует, что все свойства определителей, относящиеся к строкам, справедливы и для столбцов.

В дальнейшем не будем различать строки и столбцы, и именовать их рядами.

Свойство 2.

Если поменять местами два параллельных ряда, то определитель изменит знак.

Доказательство проведём для определителя третьего порядка.

∆==

=

-*.

∆₁==

=

-*).

Свойство 3.

Если в определителе два параллельных ряда равны, то определитель равен 0.

Доказательство:

Поменяем в данном определителе ∆ местами два равных ряда и получим определитель ∆₁.

Тогда по свойству 2 знак поменяется, но сам определитель не изменится.

∆=∆₁=0

Свойство 4.

Рекуррентная формула для вычисления определителя любого порядка.

Разложение определителя по элементам строки (столбца).

Определитель матрицы А равен произведению элементов какого-либо ряда на их алгебраические дополнения.

det A=a_i1*A_i1+a_i2*A_i2+…+a_in*A_in

Доказательство проведём для определителя третьего порядка.

∆==

а₁₁*А₁₁+а₁₂*А₁₂+а₁₃*А₁₃=а₁₁ =

=a₁₁(a₂₂*a₃₃-a₂₃*a₃₂)-a₁₂*(a₂₁*a₃₃-a₂₃*a₃₁)+a₁₃(a₂₁*a₃₂-a₂₂*a₃₁)=

(раскроем скобки и сгруппируем по знакам)

=

-*.

(Получили исходную формулу для вычисления определителя третьего порядка).

Свойство 5.

Сумма произведений элементов какого-либо ряда на соответствующие алгебраические дополнения параллельного ряда равны 0.

(Свойство аннулирования)

Доказательство проведём для определителя третьего порядка.

∆=

а₁₁*А₂₁+а₁₂А₂₂+а₁₃*А₂₃=-а₁₁₊=

-a_11*a₁₂*a₃₃+a₁₁*a₁₃*a₃₂+a₁₂*a₁₁*a₃₃-a₁₂*a₁₃*a₃₁-a₁₃*a₁₁*a₃₂+a₁₃*a₁₂*a₃₁ =0

Свойство 6.

Если в определителе элементы какого-либо ряда равны 0, то определитель равен 0.

Действительно, разложим по элементам нулевого ряда определитель по свойству 4 и получим 0.

Свойство 7.

Определитель, в котором все элементы одного ряда являются суммой двух слагаемых, равен сумме двух определителей, например:

Это свойство легко проверить, если разложить определитель по соответствующему ряду по свойству 4, а в данном случае по первой строке.

Свойство 8.

Общий множитель какого-либо ряда можно выносить за знак определителя.

Доказательство проведём для определителя третьего порядка.

=/разложим по второму столбцу/ =

𝛍а₁₂*А₁₂+𝛍а₂₂*А₂₂+𝛍а₃₂*А₃₂=𝛍*(а₁₂*А₁₂+а₂₂*А₂₂+а₃₂*А₃₂)=

=𝛍.

Свойство 9.

Определитель не изменится при элементарных преобразованиях над его рядами, т.е. если к элементам какого-либо ряда прибавить элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Доказательство проведём для определителя третьего порядка.

∆=

∆₁==/используем свойства

7, 8, 4,5/=∆+𝛍*0=∆.

Примечание:

С помощью этого свойства можно привести определитель к треугольному виду, а, следовательно, вычислять определители любого порядка.

Пример:

===27

Свойство 10.

Если одна из строк (столбцов) получена как линейная комбинация других строк (столбцов), то определитель равен 0.

Доказательство проведём для определителя третьего порядка.

∆=

Пусть S₁=(a₁₁ a₁₂ a₁₃)

S₂=(a₂₁ a₂₂ a₂₃)

S₃=(a₃₁ a₃₂ a₃₃)

Рассмотрим определитель :

∆₁===0+0=0.

Свойство 11.

det (A*B)=det A*det B.

Пример

Вычислить определитель различными способами.

∆=

1 способ( правило треугольника)

∆=2*3*1+(-1)*(-2)*4+0-(0+(-1)*1*1+2*(-2)*5)=35

2 способ (дописывание столбцов)

∆==

=2*3*1+(-1)*(-2)*4+0-(0+(-1)*1*1+2*(-2)*5)=35

3способ (разложение по первой строке)

∆==2*=2*(3+10)+(1+8)=35

Лекция 3.

§3 Системы линейных уравнений.

П⁰ 1 Линейные системы «m» уравнений с «n» неизвестными.

Определение:

Система алгебраических уравнений имеет вид:

1

x₁; x₂; …;x_nнеизвестные;

a_ij коэффициенты системы; i=;j=;

величины b₁;b₂;…;b_m свободные члены.

Замечание 1.

Если m=n,т.е., если число уравнений равно числу неизвестных, то система называется квадратной.

Замечание 2.

Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной.

Определение:

Решением системы (1) называется такой набор упорядоченных чисел (𝛂₁;𝛂₂;…;𝛂_n), который при подстановке в систему (1) вместо неизвестных

x₁; x₂; …;x_n превращает её в систему верных тождеств.

Определение:

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение и неопределённой в противном случае.

Исследование системы.

Исследовать систему, значит ответить на следующие вопросы:

1. Совместна система или нет.

2. Сколько решений имеет система, если она совместна.

3. Какие решения имеет система, если она совместна.

Матричная запись системы линейных уравнений.

Для системы (1) введём следующие обозначения:

матрица системы;

матрица-столбец свободных членов;

матрица-столбец неизвестных.

(1) может быть записана в матричном виде:

А_m×n*Х_n×1=В_m×1

2

Решение такой системы можно записать в виде матрицы-столбца:

Х⁰=

П⁰ 2. Квадратные системы «n» уравнений с «n» неизвестными.

Матричный способ решения системы.

Пусть m=n, т.е имеем квадратную систему.

Рассмотрим матричную запись системы:

3

А_n×n*Х_n×1=В_n×1

Пусть существует обратная матрица А^-1_n×n ,т.е. А*А^-1=А^-1*А=I

Умножим обе части уравнения слева на матрицу А^-1 

А^-1*(А*Х)=А^-1*В (А^-1*А)*Х=А^-1*В  I*X=A^-1*B 

X=A^-1*B