Свойства умножения матрицы на число

1	𝛂(𝛃А)=(𝛂𝛃)А	Ассоциативность относительно числового множителя
2	(𝛂+𝛃)*А=𝛂А+𝛃А	Дистрибутивность относительно суммы числовых множителей
3	𝛂(А+В)=𝛂А+𝛂В	Дистрибутивность относительно суммы матриц
4	0*А=О (нулевая матрица)	Свойство числа 0
5	𝛂*О=О	Свойство нулевой матрицы
6	1*А=А	Свойство числа 1
7	-1*А=-А	Свойство числа -1

п⁰3. Умножение матриц.

Определение:

Пусть даны две матрицы:

А_m×n=(a_ij); i=; j=; B_n×k=(b_ij); i=; j=

(Число столбцов первой матрицы А равно числу строк

второй матрицы В это обязательное условие для выполнения умножения матриц.)

Произведением этих матриц называется матрица С_m×k=A*B.

Элементы этой матрицы вычисляются по правилу:

c_ij=a_i1*b_1j+a_i2*b_2j+ … +a_is*b_sj+…+a_in*b_nj=*b_kj

n

=

c_ij

m

m

n

k

k

Пример: *==

.

Свойства умножения.

1.А*В≠В*А (свойство коммутативности не выполняется)

2.(А*В)*С=А*(В*С) (ассоциативность)

3.𝛂(А*В)=(𝛂А)*В=А*(𝛂В)

4.О*А=О; А*О=О( Онулевая матрица)

5.А*(В+С)=А*В+А*С ( дистрибутивность)

6.I*A=A; A*I=A ( Iединичная матрица)

Замечание: все условия при умножении матриц должны быть выполнены.

Определение:

Пусть А квадратная матрица порядка «n».

Матрица А^-1 порядка «n» называется обратной матрицей для матрицы А, если выполнено условие: А*А^-1=А^-1*А=I (единичная матрица).

Свойства транспонированной матрицы.

1. (А+В)^Т=А^Т+В^Т

2. (А^Т)^Т=А

3. (А*В)^Т=В^Т*А^Т

4. (А*В*С)^Т=С^Т*В^Т*А^Т

Свойства обратной матрицы.

1. (А^-1)^-1=А

2. (А^-1)^Т=(А^Т)^-1

3. Если существуют обратные матрицы А^-1 и В^-1, то

(А*В)^-1=В^-1*А^-1

п⁰4. Использование матричных операций в экономических задачах.

Пример 1.

А_m×n=(a_ij) матрица объёма производства «n» видов продукции на «m» заводах в первом полугодии 2011года.

1 завод

2 завод

mзавод

П₁…….П₂ П_j П_n

B_m×n=(b_ij) матрица объёма производства «n» видов продукции на «m» заводах во втором полугодии 2011года.

Тогда А+В=(a_ij+b_ij) i=;j=

матрица объёмов производства за год.

В-А=(b_ij-a_ij) матрица прироста объёмов производства во втором полугодии по сравнению с первым кварталом.

Пример2.

А_m×n матрица стоимости «n» видов продукции на «m» заводах в рублях.

Пусть 𝛍курс рубля по отношению к доллару

𝛍А в$

Пример 3

матрица объёмов выпуска «n» видов продукции на данном предприятии.

В_n×k=

b_ijцена реализации П_i продукции в «j» регионе.

C_1×k=A*B=(c_1j=a₁₁*b_1j+a₁₂*b_2j+…+a_1n*b_nj)

Выручка от продажи продукции в «j» регионе

Лекция 2.

§2 Определители квадратных матриц.

п⁰1.Понятие определителя квадратной матрицы.

Будем рассматривать множество числовых квадратных матриц.

Рассмотрим следующую функцию:

Каждой квадратной матрице поставим в соответствие число, называемое определителем матрицы, по следующему правилу:

определитель матрицы равен сумме всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца, взятых с определённым знаком.

Замети, что в таких произведениях элементы никогда не стоят в одном «ряду», т.е. в строке или в

столбце. Число таких произведений для матрицы порядка «n» равно числу n! (n!=1*2*3*…*n).

(Знак определяется с помощью числа нарушений порядка следования индексов элементов данной матрицы, т.е. числом инверсий: если число инверсий чётное, то знак «плюс», а если нечётное, то знак «минус»).

Обозначения:

det A=A=

Примечание:

Если имеем функциональную матрицу, то определитель это функция.