Линейная алгебра

Лекции по теме «линейная алгебра»

Анисимова Н.П.

Лекция 1.

Раздел 1. Линейная алгебра.

§1.Алгебра матриц.

п⁰ 1.Понятие матрицы. Классификация матриц.

Определение:

Матрицей размеров m×n (m,nN) называется прямоугольная таблица, в каждой клетке которой находится некоторый объект  элемент матрицы.

Если эти элементы числа, то матрица называется числовой.

Аналогично бывают и функциональные матрицы.

m- число строк; n  число столбцов.

Обозначения:

А= или A=(a_ij), i=;j=;

i номер строки; j номер столбца, в пересечении которых стоит элемент

Примеры:

1)А= m=2; n=3; a₂₃=3.

2)A=; m=2; n=2;a₁₂=x².

Классификация матриц.

1. Нулевая матрица О=.Все элементы этой матрицы равны 0.

2. Матрица-строка: A_1×n=.

3)Матрица-столбец: A_m×1=.

4)Если число строк равно числу столбцов, т. е. m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка «n».

У квадратной матрицы различают две диагонали: главную и побочную.

Побочная диагональ

Главная диагональ

5)Диагональная матрица  это квадратная матрица, у которой все элементы нестоящие на главной диагонали равны 0 (элементы главной диагонали могут принимать любые значения, в том числе и равняться 0)

=diag (a_11;a_22;…a_ii; a_nn); a_ij=0 если i≠j.

6)Единичная матрица  это диагональная матрица, на главной диагонали стоят 1.

I=diag (1;1;…1)=.

7)Треугольные матрицы  это квадратные матрицы, у которых ниже (верхняя треугольная матрица) или выше (нижняя треугольная матрица) все элементы равны 0.

верхняя треугольная матрица;

нижняя треугольная матрица.

Например:

8)Пусть дана матрица А_m×n=(a_ij).

Транспонированной по отношению к этой матрице называется матрица, которая получается из данной заменой строк на соответствующие столбцы A_n×m^T=(a_ji).

Например: А=; А^Т=.

9) Квадратная матрица называется симметричной матрицей, если её элементы расположены симметрично относительно главной диагонали, т.е. a_ij=a_ji.

Примечание: Если матрица является симметричной матрицей, то она равна своей транспонированной матрице: А=А^Т.

п⁰2 Линейные операции над матрицами.

Определение 1.

Две матрицы равны тогда и только тогда, когда они одного порядка и соответствующие элементы равны, т.е.

A_×=(a_ij); B=(b_ij).

A=B 

Определение 2.

Пусть даны две матрицы одного порядка. Суммой матриц называется матрица такого же порядка, что и данные матрицы, элементы которой равны сумме соответствующих элементов данных матриц.

Если А_m×n=(a_ij); B_m×n=(b_ij), то A+B=C_m×n=(c_ij=a_ij+b_ij)

Cвойства сложения.

1	А+В=В+А	Коммутативность
2	А+(В+С)=(А+В)+С	Ассоциативность
3	А+О=О+А=А	Свойство нулевой матрицы
4	Существует противоположная матрица –А: А+(-А)=(-А)+А=О	Свойство противоположной матрицы
5	Для любых матриц А и В одного порядка существует матрица С:В+С=А С=В-А (разность множеств) Cij=bij-aij	Cсвойство обратимости

Определение 3.

Пусть дана матрица А_m×n=(a_ij) и число 𝛂R.

При умножении матрицы А на число 𝛂 получим матрицу такого же размера как и данная матрица, при чём элементы этой матрицы получены умножением соответствующих элементов матрицы А на число 𝛂, т.е.: 𝛂*А_m×n=C_m×n=(c_ij=𝛂*a_ij)