2)Проведите диагонали прямоугольника это асимптоты.

3)У гиперболы две вершины, которые уже были получены выше  точки

А₁(-a;0); A₂(a;0);

1. 3) Обратите внимание, что фокусы находятся внутри гиперболы, т.е. вне прямоугольника Левый фокус F₁(-c;0); правый фокус F₂(c;0); c²=a²+b²( с величина гипотенузы )

4)У гиперболы две ветви симметричные относительно осей координат ветви.

Замечание 1.

1. Уравнение определяет сопряжённую гиперболу , у которой оси поменялись ролями, а именно а мнимая полуось, bдействительная (фокальная) полуось. Вершины гиперболы В₁(0;-b); B₂(0;b). Фокусы: F₁(0;-c); F₂(0;c); c²=a²+b²; Асимптоты гиперболы: у=±x (уравнения не изменились)

   F₂

F₁

Замечание2.

В общем случае уравнение гиперболы имеет вид:

;

1) Оси симметрии : х=х₀; у=у₀

2)Центр симметрии(х₀;у₀)

3)Вершины гиперболы А₁(х₀-а;у₀); A₂(х₀+a;у₀);

4)а действительная полуось (фокальная ось); bмнимая полуось

5)Левый фокус F₁(-c+x₀;y₀); правый фокус F₂(c+x₀;y₀); c²=a²+b²

y

y=₀)+y₀

y=-₀)+y₀

х=х₀

у=у₀

х

6)уравнение асимптот: у-у₀=±(x-x₀)

Замечание 3.

Если a=b , то гипербола называется равнобочной. Заметим, что угловой коэффициент асимптот к=±1.

4.Парабола.

Определение:

Параболой называется геометрическое множество точек плоскости равноудалённых от фиксированной точки F, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы:

(*)у²=2рх, где параметр р>0!

Показываем поэтапный способ построения параболы, заданной формулой (*)

1шаг. Выделяем значение «2р» «р» «»

2 шаг. Прямая х=0 ось симметрии параболы (фокальная ось)

3шаг. Точка A(0;0) вершина параболы.

4шаг. От вершины параболы вдоль оси симметрии вправо и влево откладываем величину «» точка фокуса получается справа F(; слева проводим прямую х= это директриса.

5шаг. Из точка фокуса проводим вспомогательную прямую  директрисе

6 шаг. Вдоль этой прямой от точки фокуса вверх и вниз откладываем величину «р» (получим две точки М₁ и М₂).

7 шаг. Через три точки: вершина A(0;0); М₁ и М₂ от руки аккуратно строим параболу.

Контроль:

Возьмите любую точку на построенной параболе, например, точку М, опустите  на директрису (МК  расстояние до директрисы)

Сравните длины отрезков FM и МК.

Если построение выполнено достаточно точно, то FM = МК.

у

M₁

p

M

K

х

F

х=-

A

M₂

-p

Замечание 1.

Если парабола задана уравнением:

(**) у²=-2рх, то директриса и фокус поменяются местами и ветви параболы развернутся в противоположную сторону.

у

p

F

х

х=

-

A

-p

Замечание 2.

Если парабола задана уравнением (***) х²=2ру, то

1. ось симметрии (фокальная ось) это прямая у=0

2. вершина A(0;0)

3. фокус F(0;

4. директриса : прямая у=-

5. для нахождения двух вспомогательных точек для построения параболы проведите через фокус вспомогательную линию  директрисе и отложите величину «р» влево и вправо от точки фокуса( точка фокуса всегда находится внутри параболы, поэтому в этом случае ветви параболы направлены вверх).

у

F

х

y=-

p

-p

A

Замечание 4.

Если парабола задана уравнением (****) х²=- 2ру, то фокус и директриса поменяются местами и ветви параболы будут направлены вниз.

у

у=

-р

A

х

р

-

F

Замечание 5

Если парабола задана уравнением:

(у-у₀)²=2р(х-х₀), то:

1)ось симметрии параболы (фокальная ось)  это прямая у=у₀

2)вершина параболы А(х₀;у₀)

3)фокус F(x₀+;y₀)

4) директриса х=х₀-

y

x

x₀+

F

y=y₀

x=x₀

x=x₀-

A

Замечание 6.

Если парабола задана уравнением

(у-у₀)²=- 2р(х-х₀)

1)ось симметрии параболы (фокальная ось)  это прямая у=у₀

2)вершина параболы А(х₀;у₀)

3)фокус F(x₀ -;y₀)

4) директриса х=х₀+

у

x₀-

х

у=у₀

F

A

х=х₀

х=х₀+

Замечание 7.

Если парабола задана уравнением:

(х-х₀)²=2р(у-у₀), то

1)ось симметрии параболы (фокальная ось)  это прямая х=х₀

2)вершина параболы А(х₀;у₀)

3)фокус F(x₀;y₀+)

4) директриса у=у₀-

у

х=х₀

F

y₀+

х

у=у₀

y=y₀-

A

Замечание 8.

Если парабола задана уравнением

(х-х₀)²=-2р(у-у₀), то

1)ось симметрии параболы (фокальная ось)  это прямая х=х₀

2)вершина параболы А(х₀;у₀)

3)фокус F(x₀;y₀-)

4) директриса у=у₀+

у

х=х₀

у=у₀+

у=у₀

F

у₀-

х

Творческое задание №1

Задание 1 (эллипс)

Задача 1.1

Задать эллипс уравнением:

; a>b

(задайте значения х₀; у₀; a; b)

1. сделайте аккуратный чертёж эллипса

2. найдите основные характеристики эллипса:

1. оси симметрии

2. центр эллипса

3. большая (фокальная ) п/ось и малая п/ось

4. координаты вершин

5. координаты фокусов

6. эксцентриситет 𝛆

3.Задайте прямую общим уравнением

(L) Ax+By+C=0

Для этой прямой найдите: прямую (L₁): (L)(L₁); F₁(L₁)

Все прямые изобразите на чертеже (для экономии времени используйте при построении вектор нормали и направляющий вектор данной прямой (L)).

Задача 1.2.

Задать эллипс уравнением:

; ab

(задайте значения х₀; у₀; a; b)

1.сделайете аккуратный чертёж эллипса

2.найдите основные характеристики эллипса:

1)оси симметрии

2)центр эллипса

3)большая (фокальная ) п/ось и малая п/ось

4)координаты вершин

5)координаты фокусов

6)эксцентриситет 𝛆

3.Задайте прямую общим уравнением

(L) Ax+By+C=0

Для этой прямой найдите: прямую (L₂): (L) (L₂); F₂(L₂)

Все прямые изобразите на чертеже (для экономии времени используйте при построении вектор нормали и направляющий вектор данной прямой (L)).

(Прямая (L) другая)

Задание 2 (гипербола)

Задача 2.1.

Задать гиперболу уравнением:

;

(задайте значения х₀; у₀; a; b)

1.сделайте аккуратный чертёж гиперболы; найдите основные характеристики гиперболы;

1)оси симметрии

2)центр гиперболы

3)действительная (фокальная ) п/ось и мнимая п/ось

4)координаты вершин

5)координаты фокусов

6)уравнения асимптот

4)эксцентриситет 𝛆

3.Найдите уравнения прямых, проходящих через точки фокусов параллельно асимптотам ( 4 прямые)

Все прямые изобразите на чертеже

Задача 2.2.

Задать гиперболу уравнением:

;

(задайте значения х₀; у₀; a; b)

1.сделаете аккуратный чертёж гиперболы; найдите основные характеристики гиперболы;

1)оси симметрии

2)центр гиперболы

3)действительная (фокальная ) п/ось и мнимая п/ось

4)координаты вершин

5)координаты фокусов

6)уравнения асимптот

4)эксцентриситет 𝛆

3.Найдите уравнения прямых,

проходящих через точки фокусов перпендикулярно асимптотам

( 4 прямые)

Все прямые изобразите на чертеже

Задание 3 (парабола)

Задача 3.1

Задайте параболу уравнением:

(у-у₀)²= 2р(х-х₀)

1. Постройте параболу по схеме, которая была предложена в теоретической части.

2. Найдите основные характеристики:

1)ось симметрии (фокальная ось)

2)вершина параболы

3)координаты фокуса

4)уравнение директрисы

3.Задайте прямую (L) :Ах+Ву+С=0.

Найдите уравнение прямой (L₁): (L)(L₁); F(L₁)

(сделайте чертёж, используя вектор нормали данной прямой)

Задача 3.2

Задайте параболу уравнением:

(у-у₀)²= -2р(х-х₀)

1. Постройте параболу по схеме, которая была предложена в теоретической части.

2. Найдите основные характеристики:

1)ось симметрии (фокальная ось)

2)вершина параболы

3)координаты фокуса

4)уравнение директрисы

3.Задайте прямую (L) :Ах+Ву+С=0.

Найдите уравнение прямой (L₁): (L) (L₁); А(L₁) А вершина

(сделайте чертёж, используя вектор нормали данной прямой)

Задача3.3.

Задайте параболу уравнением:

(х-х₀)²= 2р(у-у₀)

1. Постройте параболу по схеме, которая была предложена в теоретической части.

2. Найдите основные характеристики:

1)ось симметрии (фокальная ось)

2)вершина параболы

3)координаты фокуса

4)уравнение директрисы

3.Задайте прямую (L) :Ах+Ву+С=0.

Найдите уравнение прямой (L₁): (L)(L₁); А(L₁) Авершина

(сделайте чертёж, используя вектор нормали данной прямой)

Задача 3.4

Задайте параболу уравнением:

(х-х₀)²=- 2р(у-у₀)

1. Постройте параболу по схеме, которая была предложена в теоретической части.

2. Найдите основные характеристики:

1)ось симметрии (фокальная ось)

2)вершина параболы

3)координаты фокуса

4)уравнение директрисы

3.Задайте прямую (L) :Ах+Ву+С=0.

Найдите уравнение прямой (L₁): (L)(L₁); F(L₁)

(сделайте чертёж, используя вектор нормали данной прямой)

Образец выполнения домашнего задания.

Задание 1. Эллипс.

Задача 1.1.

Дано:

1. Оси симметрии: х=-1; у=2.

2. Центр симметрии (-1;2).

3. Большая п/ось а=4; малая п/ось b=2.

4. Вершины эллипса А₁(-1-4; 2) А₁(-5;2); А₂(-1+4;2)А₂(3;2);

В₁(-1;2-2)В₁(-1;0); В₂(-1;2+2)В₂(-1;4)

4)c²=a²-b²c²=12c=2√3≈3,5 F₁(-2√3 -1; 2); F₂(2√3 -1; 2)фокусы.

5)𝛆===≈0,87.

у

4

B₁

у=2

F₁

F₂

A₁

A₂

х

-5

3

B₂

х=-1

L₁

Дано: (L): 3х-4у+7=0 вектор нормали ={3;4}

Найти (L₁): (L)(L₁); F₁(L₁)

Решение:

Уравнение прямой (L₁) ищем в виде:

А(х-х₀)+В(у-у₀)=0, А=3; В=4 (прямые параллельны и векторы нормалей можно считать равными); х₀=-2√3-1; у₀=2

(L₁): 3(x+2√3+1)-4(y-2)=03x-4y+11+6√3=0

Чтобы быстро построить полученную прямую, построим вектор нормали как радиус-вектор, а затем через точку F₁ проведём прямую (L₁) этому вектору.

Задача 2.2.

Дано: +=1

1.Оси симметрии: х=2; у=-1.

2.Центр симметрии (2;-1).

3.Большая п/ось b=4; малая п/ось a=2.

4.Вершины эллипса А₁(2-3;-1) А₁(-1;-1); А₂(2+3;-1)А₂(5;-1);

В₁(2;-1-5)В₁(2;-6); В₂(2;-1+5)В₂ (2;4)

4)c² =b²-а²c²=16c=4 F₁(2;-5); F₂(2;3)фокусы.

5)𝛆=.=4/5

у

B₂

4

F₂

5

7

х

у=-1

-1

A₂

A₁

х=2

F₁

B₁

-6

L₂

-4

3.Задана прямая общим уравнением :

(L) 7х-4у+9=0; ={7;-4}

Для этой прямой найти: прямую (L₂): (L) (L₂); F₂(L₂)

Уравнение прямой (L₂): ищем в виде: = (прямые перпендикулярны , а вектора нормали и направляющий вектор прямой параллельны); F₂(2;3) (L₂):  4х+7у-13=0

(На чертеже сначала построим вектор нормали ={7;-4} как радиус-вектор и через точку фокусаF₂(2;3) проведем искомую прямую  вектору нормали).

Задание 2 (гипербола)

Задача 2.1.

Дано:

1. оси симметрии х=-2; у=3.

2. центр симметрии (-2;3)

3. а=3 действительная (фокальная )п/ось; b=2 мнимая п/ось

4. вершины А₁(-2-3;3)А₁(-5;3); А₂(-2+3;3)А₂(1;3).

5. с²=а²+b²c= F₁(-2-;1);F₂(-2+;1)

6. уравнения асимптот: у=±х₀)+у₀

7. 𝛆=c/a𝛆=

   y

y=

(L₄)

(L₁)

F₁

y=3

F₂

A₁

A₂

x

x=-2

y=-x+

(L₂)

(L₃)

Найдём уравнения прямых проходящих через фокусы гиперболы параллельно асимптотам (используем уравнение прямой через точку с известным угловым коэффициентом)

(L₁);(L₂): y=±(x+2+√3 )+1 (L₃);(L₄): y=±(x+2-√13)+1

Левый фокус

Правый фокус

Задача 2.2 (сопряжённая гипербола)

Дано : -=-1

1.Оси симметрии х=2; у=-1.

2.Центр симметрии (2;-1).

3. а=4 мнимая п/ось; b=3действительная (фокальная п/ось).

4.Вершины гиперболы: А₁(2;-1-3)А₁(2:-4); А₂(2;-1+3)А₂(2;2).

5.с²=a²+b²c²=25c=5 F₁(2;-1-5)F₁(2;-6); F₂(2;-1+5)F₂(2;4) (фокусы)

6.Уравнения асимптот: у=±х₀)+у_0

7.𝛆=с/b𝛆=5/2

Прямые, проходящие через фокусы перпендикулярно асимптотам имеют следующие уравнения :

(L₁);(L₂): y=-)+y=±(x-2)-6

нижний фокус

(L₃);(L₄): y=-)+ y=±(x-2)+4

верхний фокус

у

y=-

y=x-

F₂

х

(L₂)

A₂

у=-1

A₁

х=2

F₁

(L₁)

(L₃)

(L₄)

Задание 3 (парабола)

Задача 3.1

Дано: (у+2)²=8(х-4)

1.2р=8р=4р/2=2

2)у=-2 ось симметрии параболы.

3.(4;-2) вершина параболы

4.фокус F(+4;-2)F(6;-2)

5.директриса х=4- х=2

у

х

6

p=4

F

y=-2

p=4

х=2

x=4

вершина

(L₁)

Дано: прямая (L): 7x-2y-46=0 ; ={7;-2}

Найти прямую (L₁): (L)(L₁); F(L₁)

Уравнение прямой ищем в виде : А(х-x_F)+B(y-y_F)=0;(т.к. прямые параллельны, то можно в качестве нормали для прямой (L₁) взять вектор нормали данной прямой)

(L₁): 7(х-6)-2(у+2)=0 (L₁):7х-2у-46=0

Чтобы быстро построить эту прямую, достаточно построить вектор ={7;-2} как радиус-вектор и через точку фокуса провести прямую  этому вектору.

Задача 3.2.

Дано: (у-3)²=-6(х+4)

1.2р=6 !(р>0)р=3=1,5.

2.у=3 ось симметрии параболы

4.А(-4;3) вершина параболы

5.фокус F(-4-;3)F(-5,5; 3)

6.директриса х=-4+ х=-2,5

у

(L₁)

р=3

вершина

F

у=3

р=3

A

р/2=1.5

-5.5

х

х=-4

х=-2,5

р/2=1,5

Дано:(L): 10x-3y+7=0 ; ={10;-3}

Найти прямую (L₁): (L)(L₁); A(L₁)

Прямую (L₁) ищем в виде : ;m;l}=={10;-3}, т.к. прямые перпендикулярны, а вектор нормали направляющему вектору.

(L₁): (L₁): 3х+10у-18=0

Чтобы быстро построить эту прямую, достаточно построить вектор ={10;-3} как радиус-вектор и через точку А провести прямую  этому вектору.(Примечание: т.к. формат не позволяет построить данный вектор, то можно построить коллинеарный вектор, координаты которого уменьшим в 5 раз {2;-0,6})