Кривые второго порядка

Методический материал для выполнения творческого задания

Высшая Школа Экономики

Анисимова Н.П.

Кривые второго порядка.

Теоретический материал для выполнения творческого домашнего задания по теме: «Кривые второго порядка».

Общее уравнение линии второго порядка. Классификация линий второго порядка.

Важное замечание:

Алгебраическое уравнение 1-го порядка

Ах+Ву+С=0 задаёт на плоскости прямую и только прямую!

Рассмотрим алгебраическое уравнение второго порядка:

Ах²+2Вху+Су² +Dx+Ey+F=0

(А²+В²+С²≠0)

квадратичная форма

Какие линии на плоскости задаются таким уравнением?

Рассмотрим различные варианты ( все уравнения кривых записываем в каноническом, т.е. самом простом виде)

№	Каноническое уравнение	Название (геометрическая иллюстрация)
1	x2+у2=R2	Окружность R
2	;a>b	Эллипс
3		Гипербола
4	y2=2px;p>0	Парабола
5		Точка О(0;0)
6	a>0;b>0y=x	Пара пересекающихся прямых b а -a b
7	y2-b2=0 y=b;b>0	Две параллельные горизонтальные прямые b -b
8	x2-a2=0x=a; a>0	Две параллельные вертикальные прямые а -а
9	Х2=0х=0	Прямая совпадающая с осью (Оу)
10	У2=0у=0	Прямая совпадающая с осью (Ох)
11	x2+у2=-R2	Мнимая окружность ∅
12	;a>b	Мнимый эллипс ∅
13	y2+b2=0	Мнимые прямые ∅
14	x2+a2=0	Мнимые прямые ∅

Далее рассмотрим исследование и построение основных кривых 2-го порядка.

1.Окружность.

Определение

Окружностью называется геометрическое множество точек плоскости, равноудалённых от точки О, называемой центром окружности.

На основании определения окружности выведем каноническое уравнение окружности в декартовой прямоугольной системе координат.

Пусть произвольная точка М(х;у) окружности 

М(х;у)

R

тогда расстояние до центра окружности, которое

совпадает с началом координат , определяется

формулой: =R

x²+y²=R²

Замечание:

Если координаты центра окружности (х₀;у₀) и радиус равен R, то уравнение окружности в общем виде имеет вид:

(х-х₀)²+(у-у₀)²=R²

2.Эллипс.

Определение:

Эллипсом называется геометрическое множество точек, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек , называемых фокусами, равна постоянному числу.

Пусть координаты фокусов F₁(-c;0); F₂(c;0)

y

В₂

A₁

A₂

b

x

M

F₁M+F₂M=2a определение

-a

F₁

F₂

a

-b

B₁

Каноническое уравнение эллипса:

Рассмотрим основные характеристики эллипса, которые помогут более точно его построить.

1. Оси симметрии : х=0; у=0

2. Центр симметрии(0;0)

3. Вершины эллипса А₁(-a;0); A₂(a;0); B₁(0;-b); B₂(0;b)

4. а большая полуось (фокальная ось); bмалая полуось

5. Левый фокус F₁(-c;0); правый фокус F₂(c;0); c²=a²-b²

6. Форма эллипса определяется числом, которое называется эксцентриситетом и определяется по формуле: 𝛆=

Заметим, что 0𝛆1; 𝛆== если 𝛆0, то a≈b (окружность); если 𝛆1, то эллипс вытягивается вдоль оси (Ох)

Замечание1.

Если ab, то фокальной становится ось «b», а координаты фокусов соответственно F₁(0;-c); F₂(0;c); c²=b²-a²

у

F₂

F₁

х

Замечание 2.

В общем случае уравнении эллипса имеет вид:

; a>b

1) Оси симметрии : х=х₀; у=у₀

2)Центр симметрии(х₀;у₀)

3)Вершины эллипса А₁(х₀-а;у₀); A₂(х₀+a;у₀); B₁(х₀;у₀-b); B₂(х₀;у₀+b)

4)а большая полуось (фокальная ось); bмалая полуось

5)Левый фокус F₁(-c+x₀;y₀); правый фокус F₂(c+x₀;y₀); c²=a²-b²

y

y=y₀

F₂

F₁

x

x=x₀

Аналогично, если ab, то: фокальной становится ось «b», а координаты фокусов соответственно F₁(х₀;-c+у₀); F₂(х₀;c+у₀); c²=b²-a²

3.Гипербола

Гиперболой называется геометрическое множество точек, разность расстояний которых по модулю до двух фиксированных точек , называемых фокусами, равна постоянному числу.

F₁M – F₂M=2aпо определению

Каноническое уравнение гиперболы:

Рассмотрим основные характеристики гиперболы, которые помогут более точно её построить.

1. Оси симметрии : х=0; у=0

2. Центр симметрии(0;0)

3. Вершины гиперболы А₁(-a;0); A₂(a;0);

4. адействительная полуось (фокальная ось); bмнимая полуось

5. Левый фокус F₁(-c;0); правый фокус F₂(c;0); c²=a²+b²

6. Асимптоты гиперболы: у=±x

7. 𝛆=>1

При построении гиперболы воспользуйтесь следующими удобными правилами:

1)Постройте прямоугольник, отложив от центра по горизонтали величину «а» влево и вправо, а по вертикали величину «b» вверх и вниз.

b

y

М

F₁

F₂

с

A₁

A₂

x

а

-а

-b

y=x

y=-