Линейка / тест. и контр. задания

Тестовые и контрольные задания

Материал для подготовки к контрольной работе и тестам

Анисимова Н.П.

Методический материал для подготовки к репетиционному тесту.

Проверь себя!

1. Формула расстояния от точки до прямой(плоскости).

Задача 1.

а)Дано:М₀(2;-1); (L): 2x-4y+5=0; 𝛒(M₀;(L))=?

b)Дано: M₀(1;-4;3); (P): 2x-5y+3z-4=0; 𝛒(M₀;(P))=?

2. Формула расстояния между параллельными прямыми (плоскостями).

Задача 2.

a)(L₁): 2x-3y+5=0; (L₂): 1,5y-x+8=0;

b) (P₁): 6x+5y-3z+2=0; (P₂): -2x- .

3.Скалярное произведение и его свойства.

Задача 3.

Дано: ; ; (30⁰.

Найти =?

Задача 4.

Дано: ∆ABC; A(2;-1;0); B(3;1;4); C(-1;1;3).

Найти угол при вершине В.

4. Векторное произведение и его свойства.

Задача 5.

Дано: 45⁰.

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах .

Задача 6.

Дано: ∆ABC; A(-1;1;4); B(2;1;5); C(0;3;-4).

Найти площадь треугольника ∆АВС.

5. Смешанное произведение и его свойства.

Задача 7.

Дано: 120⁰

=4.

Найти объём параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Задача 8.

Найти объём тетраэдра ABCD, если известны координаты вершин A(2;-1;0); B(6;0;-3); C(4;2;3); D(2;1;0) и высоту, опущенную из вершины D на основание АВС.

6. Все уравнения плоскости в пространстве.

Задача 9.

Построить плоскости: а)(P₁): 3x-5y+15=0; b) (P₂): 2y+5z-10=0; c) 4x-3z-12=0;

d) 2x-3y+5z-30=0;

Задача 10.

Определить при каких значениях параметров 𝛂 и 𝛃 плоскости будут параллельны: (P₁): 3x+5𝛂y-4z+8=0; (P₂): 𝛃x+6y+2z+3=0.

Задача 11.

Определить при каких значениях параметров 𝛂 и 𝛃 плоскости будут перпендикулярны: (P₁):4𝛂x+2𝛃y-4z+1=0; (P₂):2x-y+2𝛂z+3=0.

Задача 12.

Найти угол между плоскостями: (P₁): 2x-3y+5z-4=0; (P₂): 2x+5y-3z+7=0.

Задача 13.

Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки:

M₁(2;-1;0); M₂(1;3;1); M₃(-1;4;-2)

7.Все уравнения прямой в пространстве.

Задача 14.

Построить прямые: a)

Задача 15.

При каких значениях параметров 𝛂 и 𝛃 прямые параллельны:

(L₁):; (L₂):

Задача 16.

При каком значении параметра 𝛂 прямые перпендикулярны:

(L₁):; (L₂):

Задача 17

Найти угол между прямыми: (L₁): ;(L₂):

Задача 18.

Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: М₁(2;-1;0); М₂(3;4;2)

8. Плоскость и прямая в пространстве (угол между прямой и плоскостью)

Задача 19.

При каком значении параметра 𝛂 прямая и плоскость будут перпендикулярны(P):2x-3y+20z-3=0; (L):

Задача 20.

При каком значении параметра 𝛂 прямая и плоскость будут параллельны: (L):2x+3y-z+5=0

Задача 21.

Найти угол между прямой и плоскостью: (L):;

(P):3x-4y+7=0.

Задача 22.

Найти уравнение плоскости(P), проходящей через точку М₀(2;-1;0) перпендикулярно прямой (L):

Задача 23.

Найти уравнение прямой (L), проходящей через точку

М₀(-3;2;4)перпендикулярно плоскости (Р):4x-5z+2=0.

Задача 24.

Найти точку пересечения прямой (L): и плоскостью

(Р):5x+3y-2z+4=0.

Ответы(возможны опечатки)

1.а)3; b); 2.a);b) ;3.≈0,09;4.≈65⁰;5.;7.144куб.ед.;8. 6куб.ед.; 10.𝛂=-2,4; 𝛃=-1,5; 11.𝛃=0; 𝛂 любое; 12.≈47⁰;13.13x+5y-7z-21=0; 15.𝛂=4;𝛃=-5;16.≈89,8⁰; 18.; 19.𝛂=1,25; 20.𝛂=-;21.≈39⁰;

22. x-2y-4=0;23. ; 24. (-1;2;

Контрольная работа №1

1.При каких значениях параметра «с» система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений:

2.Решить систему уравнений двумя способами: по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы.

3.Исследовать систему, используя метод Гаусса.

4.При каких значениях параметров «а» и «в» система линейных уравнений не имеет решений:

5. Решить систему уравнений двумя способами: по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы

6. .Исследовать систему, используя метод Гаусса:

7.Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ прямоугольный параллелепипед со сторонами a,b,c (параметры будут заданы).

Найти: 1) угол между плоскостями (ABD₁)и (BDD₁);

2)точка М середина BC₁; найти расстояние от точки М

до плоскости ABD₁;

3)угол между прямыми (AB₁)и(B₁D);

4)объём тетраэдра MAB₁D₁

Вопросы для оценки качества освоения раздела « Линейная алгебра»

Примерный перечень вопросов к зачёту для самопроверки студентов.

Задание1.

1)При каких значениях параметров α и β векторы коллинеарны?

;

2)При каком значении параметра α векторы

.

Задание2.

Какую « тройку» левую или правую , образуют вектора где

1)

Задание3.

1)Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

2)Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах

Задание 4.

Выяснить (объяснить), какие прямые (плоскости) параллельны, а какие перпендикулярны.

1)(L1): 2x-3y+5=0; (L2): -x+1,5y+6=0; (L3): 3x+2y-10=0; (L4): 9x+6y+5=0

2)(L1): (L2): ; (L3): ;

(L4):;

3)(P1): 3x-5y+z+3=0; (P2): 9x-15y+3z+1=0; (P3): 2x+2y+4z+5=0; (P4): x+y+2z-3=0

Задание 5.

1)Найти расстояние от точки О (начала координат) до прямой: 2х-у+5=0;

2)Найти расстояние между прямыми:

(L1): ; (L2): ;

3)Найти расстояние между плоскостями:

(P1): √5x+√3y+z-2=0; (P2): .

Задание 6.

Определить взаимное положение прямой и плоскости (параллельны, перпендикулярны или другое расположение).

1)(P): 3x-2y+z-5=0; (L): ;

2) (P): 2x+5z+8=0; (L): .

Задание 7.

Построить:

1)Прямые: (L1): ; (L2):

2)Плоскости: (P1): 2x+3y=6; (P2): 5x-2y=10.

Задание 8.

Указать тип кривой и построить:

1)(у+2)2=-6(х-1); 2) ;3) ;

4)9х²-16у²=0

Задание 9.

Построить тело, ограниченное поверхностями:

1)у²=4z; x=0; z=2; x=4; 2)y-2=; y=6; 3)x²+z²=9; y=0; y=4;

4)x-1=y²+z²; x=5.

Задача 10

. Даны три вектора R³ .

Определить лнейную зависимость или независимость векторов.

=; =; .

определитель матрицы координат:

=0+4+15-(0-20+1)=38≠0 система векторов линейно независима. (Если =0, то система векторов будет линейно зависимой)

Задание 11.

Доказать, что система векторов( образует О.Н.Б. (ортонормированный базис) в пространстве R3.

Найти координаты вектора в этом базисе:

1)(4;-2;1)^T; ^T; T; ^T;

2)(2;0;-3)^T; ^T; ^T; ^T.

Пример:

1. Проверить, что данный базис является ортонормированным:

=(2;2;-1)^Т; =(-1;3;4)^Т; =(11;-7;8)^Т

Найти координаты вектора =(1;-2;0)^Т в этом базисе.

Проверим, что вектора попарно ортогональны.

(=(2*(-1)+2*3+(-1)*4)=0;

( (2*11+2*(-7)+(-1)*8)=0

Ортогональный

базис

(=(-1)*11+3*(-7)+4*8)=0

2. Проверим, что этот базис нормированный, т.е. длины векторов равны 1.

 ==1;

==1;

Ортонормированный базис

==1

3. х₁ + х₂ +х₃  формула разложения данного вектора в ортонормированном базисе.

Координаты вектора найдём по формулам Фурье:

₁=(=(2*1+2*(-2)+0)=-;

x₂=(=(-1*1+3*(-2)+0)=-;

x₃=(=(11*1+(-7)*(-2))=

Ответ: + - +