§2.Взаимное положение прямых в пространстве.
Как известно, в пространстве прямые могут пересекаться или быть параллельными, если лежат в одной плоскости, в частности даже совпадать, а так же быть скрещивающимися, если не лежат в одной плоскости. В любом случае, для нахождения угла между прямыми достаточно найти угол между направляющими векторами прямых (наименьший угол)
φ
(L2)
(L1)
(L1)
;
={l1;m1;k1}
(L2)
;
={l2;m2;k2}
=
Условия параллельности прямых в пространстве.
(L1)(L2)
Условия перпендикулярности прямых в пространстве.
(L1)(L2)
l1*l2+m1*m2+k1+k2=0
§3. Взаимное положение прямой и плоскости в пространстве.
Пусть прямая и плоскость в пространстве пересекаются.
(L)
α
φ
(P)
(P):
Ax+By+Cz+D=0;
={A;B;C};
(L):
;
={l;m;k}
Как
известно, углом между прямой и плоскостью
называется угол 𝛗
между прямой и проекцией этой прямой
на плоскость. Рассмотрим угол 𝛂
между вектором нормали данной плоскости
и направляющим вектором прямой. Очевидно,
что 𝛗=900-𝛂
=
=
Условия параллельности прямой и плоскости в пространстве.
(P)
(L)
=0
Условия перпендикулярности прямой и плоскости.
(P)(L)
§3.Решение типовых задач.
Задача1.
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данной прямой.
Дано М0(x0;y0;z0)
1)(L):
;
={l;m;k}
2)(L):
=
Найти уравнение плоскости (Р): (Р) (L); M0(P)
Решение:
=
(P)
M0
(L)
Уравнение плоскости ищем в виде: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0; где А;В;Скоординаты направляющего вектора прямой.
Пример1.
Дано:
(L)
;M0(4;-3;7)
Найти уравнение плоскости (Р): (Р) (L); M0(P)
Решение
Рисунок смотри выше.
=
4(x-4)-3(z-7)=0(P):4x-3z+5=0
Пример2.
Дано:(L):
;M0(1;-2;0)
Найти уравнение плоскости (Р): (Р) (L); M0(P)
Решение.
={2;-3;4};
={5;1;-3}
=
=
5
+26
+17
={5;26;17}
Уравнение плоскости ищем в виде: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0; где А;В;Скоординаты направляющего вектора прямой.
5(x-1)+26(y+2)+17(z-0)=0(P): 5x+26y+17z+47=0
Задача 2.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости.
Дано (Р1): A1x+B1y+C1z+D1=0
1)(L):
;
={l;m;k}
2)(L):
=
Найти уравнение плоскости (Р): (L)(P); (P)(P1)
Решение.
(P)
M0
(P1)
Решение.
Рисунок смотри выше.
По
условию вектора
={A1;B1;
C1}
;
={l;m;k}
являются направляющими векторами для
искомой плоскости и , кроме того есть
точка М0(L)M0(P)
=
={A;B;C}
(P): A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Пример 3.
Дано:
(P1):
3x-4z+5=0;
(L):
Найти уравнение плоскости (Р): (L)(P); (P)(P1)
Решение
Рисунок смотри выше
={3;0;-4};
={5;-5;0}
{1;-1;0}направляющие
вектора плоскости (Р)
вектор
нормали
=
=
=4
-4
+3
={4;-4;3};
точка М0(-2;0;3) (смотри уравнение прямой (L))
(P): A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=04(x+2)-4(y-0)+3(z-3)=0
(P): 4x-4y+3z-1=0.
Пример 4.
Дано:
(Р1):
2х-5у+6=0; (L):
Найти уравнение плоскости (Р): (L)(P); (P)(P1)
Решение
Рисунок смотри выше
={2;-5;0}.
Для
нахождения направляющего вектора прямой
(L)
найдём вектора нормалей плоскостей (
)
и (
):
={1;-3;4};
={2;0;-3}
=
×
=
=9
+11
+6
={9;11;6}
=
=
=30
-12
-23
={30;-12;-23}
Чтобы найти точку М0 нужно найти частное решение системы:
Т.к.система
имеет бесконечное множество решений
(ранги матриц расширенной и системы
равны r(A)=r(
)=2),
то имеем две базисных и одну свободную
переменные. Пусть свободной переменной
будет переменнаяz.
Для нахождения частного решения зададим
числовое значение, например, z=0
М0(-2,5;-1,5;0)(P):30(x+2,5)-12(y+1,5)-23(z-0)=0
(P):30x-12y-23z+57=0
Задача 3.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую параллельно другой прямой.
Дано
: (L1):
2):
; (L1)(L2)
Найти уравнение плоскости (Р): (L1)(P); (L2)(P).
Решение:
(L2)
(L1)
(P)
Исходя из условия задачи, в качестве направляющих векторов для искомой плоскости можно взять направляющие вектора заданных прямых. Тогда вектор нормали искомой плоскости найдём по формуле:
=
={A;B;C};
точку через которую проходит плоскость
позаимствуем у прямой (L1),
которая лежит в плоскости (Р)М1(х1;y1;z1)
Тогда уравнение плоскости находим в виде: (Р): A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0
Примечание:
Если прямые заданы в другой форме, то нужно для прямой (L2) найти только направляющий вектор, а для прямой (L1) кроме направляющего вектора нужно ещё знать точку через которую проходит прямая , а следовательно и плоскость.
Пример 5.
Дано:
(L1):
;
(L2):
Найти уравнение плоскости (Р): (L1)(P); (L2)(P).
Решение
Рисунок смотри выше.
Из параметрического задания прямой (L1) находим вектор направления и точку, через которую проходит данная прямая:
={-4;0;2};
M1(2;3;-1)
Для
нахождения направляющего вектора прямой
(L2)
найдём вектора нормалей плоскостей
(Р1)
и (Р2):
={2;-3;1};
={1;-4;0}
=
×
=
=4
+1
-5
={4;1;-5}
=
=
=-2
-12
-4
={-2;-12;-4}{1;6;2}
(Р): A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0(x-2)+6(y-3)+2(z+1)=0
(P): x+6y+2z-18=0.
Задача 4.
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно данной плоскости.
Дано: плоскость (Р): Ax+By+Cz+D=0; M0(x0;y0;z0).
Найти уравнение прямой (L): (L)(P); M0(L)
Решение.
(L)
(Р)
M0
По
условию задачи направляющий вектор
прямой (L)
перпендикулярен плоскости (Р)
={A;B;C}
Уравнение
прямой ищем в каноническом виде:
(l=A;m=B;C=k)
Пример6.
Дано: (Р): -2х+4у-5z+7=0; M0(-1;0;3)
Найти уравнение прямой (L): (L)(P); M0(L)
Решение
Рисунок смотри выше.
={-2;4;-5};
M0(-1;0;3)(L):
Задача 5.
Задача о нахождении точки пересечения прямой и плоскости.
Дано: плоскость (Р): Ax+By+Cz+D=0;
прямая
(L):
Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости М0(x0;y0;z0)=(P)∩(L)
Решение:
(L)
M0
(P)
Координаты точки М0(x0;y0;z0) удовлетворяют уравнению плоскости, т.к. эта точка лежит на плоскости.
A(x0+lt)+B(y0+mt)+C(z0+kt)≡0t=t0M0 (подставляем найденное значение параметра в каждое уравнение системы и находим координаты точки)
Примечание.
Если прямая задана в другом виде, то сначала нужно привести её к параметрическому виду или, в случае общего задания прямой, решить систему трёх уравнений с тремя неизвестными:
Пример 7.
Дано:
(Р): 2x-y+3z+5=0;
(L):
Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости М0(x0;y0;z0)=(P)∩(L)
Решение.
Рисунок смотри выше.
Приведём уравнение к параметрическому виду:
Подставляем значения переменных в уравнение плоскости:
2(1)-(-4+2t)+3(1+3t)+5=07t+14=0t=-2
Проверка: подставьте для контроля координаты точки в уравнение плоскости: 2+8-15+5≡0 (верно)
Ответ М0(1;-8;-5)
Пример 8
Дано
(L):
Плоскость (Р):2x-y+3z-1=0
Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости М0(x0;y0;z0)=(P)∩(L)
Решение
(решение
проведём по методу Гаусса)
-3
-2
=
~
-1
~
восстановим
равносильную систему
M0(1;-2;-1)
Для контроля сделайте проверку, подставив найденные значения в каждое исходное уравнение.
Задача 6.
Нахождение угла между прямой и плоскостью.
Нахождение угла между двумя прямыми в пространстве.
Дано1)
:плоскость(P):
Ax+By+Cz+D=0;
={A;B;C};(L):
;
={l;m;k}
(прямая)
Найти угол между прямой и плоскостью.
2) две прямые (L1);(L2); найти угол между прямыми
(L1)
;
={l1;m1;k1}
(L2)
;
={l2;m2;k2}
Решение
1)Используем
формулу:
=
2)
Используем формулу:
=
Пример 9.
Тетраэдр ABCD задан координатами вершин A(0;0;0); B(2;-1;4); C(0;4;5); D(5;-4;3) .
Найти1) угол между ребром AD и плоскостью (АВС)
2)Угол между рёбрами AD и ВС
Решение
D
B
φ
А
c
Направляющим
вектором прямой (АD)
можно взять
={5;-4;3}=
Найдём уравнение плоскости (АВС) , используя задачу об уравнении плоскости, проходящей через три точки.
Направляющие
вектора:
={2;-1;4};
=
={0;4;5}
=
=-36
-10
+8
={-36;-10;8}
{18;5;-4}
=
=
=
≈0,43
𝛗=arcsin0,43≈250
2)Направляющий
вектор прямой (AD)
это
={5;-4;3}=
Направляющий
вектор прямой (ВС)
это вектор
={-2;5;1}=
=
=
=
≈0,7𝛂=arcos
0,7≈45,60