Высшая школа экономики

аналитическая геометрия

№

Прямая на плоскости

Плоскость в пространстве

1

Уравнение прямой, проходящей через точку М(х₀;у₀) с вектором нормали

Задача.

Найти уравнение прямой (L):M(x₀;y₀)(L); ={A;B}(L).

Решение:

М(х;у)произво-льная точка

L

M

M₀

={x-x₀;y-y₀}; ={A;B};

=0

A(x-x₀)+B(y-y₀₎=0искомое уравнение(1)

Уравнение плоскости, проходящей через точку М(х₀;у₀;z₀) с вектором нормали

Задача.

Найти уравнение плоскости (P):M(x₀;y₀;z₀)(P); ={A;B;C}(P)

Решение:

M(x;y;z)произвольная точка

M₀

M

P

={x-x₀;y-y_0;z-z₀}; ={A;B;C};

=0

A(x-x₀)+B(y-y₀₎+C(z-z₀)=0искомое уравнение плоскости (1)

2

Общее уравнение прямой.

Если раскрыть скобки в предыдущем уравнении, то получим общее уравнение прямой

Ах+Ву+С=0 (2)

Исследование уравнения

С=0(0;0)(L)

L

А=0Ву+С=0y= -y=b

B=0Ax+C=0x= -x=a

Прямая на плоскости

Х=0 прямая совпадает с осью (0у)

У=0 прямая совпадает с осью (0х)

Общее уравнение плоскости.

Если раскрыть скобки в предыдущем уравнении, то получим общее уравнение плоскости

Ах+Ву+Сz+D=0 (2)

Исследование уравнения

C=0(0;0;0)(P)

A=0By+Cz+D=0By+Cz= -D



b

c

Плоскость  оси (0х)

z

c

у

х

b

Плоскость в пространстве

В=0Ax+Cz+D=0Ax+Cz= -D

плоскость  оси (0у)

z

c

y

a

х

C=0 Ax+By+D=0Ax+By= - D

+=1плоскость  оси (0z)

z

y

a

b

x

B=0;C=0Ax+D=0x=x=a

Плоскость  (y0z)

z

y

a

x

A=0;C=0By+D=0y=y=b

Плоскость (x0z)

z

y

x

b

A=0;B=0Cz+D=0z=z=c

Плоскость  (х0у)

z

c

x

y

X=0(y0z)

Y=0(x0z)

Z=0(x0y)

3

Уравнение прямой в отрезках на осях координат

(3)

y

b

x

a

А;В;С;≠0Ax+By+C=0

Ax+By= -C=1

Уравнение плоскости в отрезках на осях координат

z

c

y

a

b

x

4

Уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀;у₀) с вектором направления

{l;m}

Задача.

Дано: М₀(х₀;у₀); {l;m}

Найти уравнение прямой (L): M₀(L); (L)

Решение:

Возьмём произвольную точку

М(х;у) (L)={x-x₀;y-y₀};

(4) искомое уравнение

M₀

M

(L)

Параметрическое уравнение прямой

t; =t(4*)

Уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀;у_0;z₀) с направляющими векторами

{x₁;y₁;z₁}; ={x₂;y₂;z₂};

Задача.

Дано: М₀(х₀;у₀;z₀); {x₁;y₁;z₁}; ={x₂;y₂;z₂}

Найти уравнение плоскости (P): M₀(P); ;(P)

Решение

M₀

===A

(P): A(x-x₀)+B(y-y₀₎+C(z-z₀)=0(4)

Искомое уравнение плоскости

5

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Дано:М₁(х₁;у₁); М₂(х₂;у₂);М₁(L);M₂(L)

Найти уравнении прямой (L)

М₂

М₁

=={x₂-x₁;y₂-y₁} используем уравнение (4):

(5)

Уравнение плоскости, проходящей через три точки не лежащие на одной прямой.

Дано: M₁(x₁;y₁;z₁); M₂(x₂;y₂;z₂); M₃(x₃;y₃;z₃)(P)

Найти уравнение плоскости (P)

M₂

М

M₁

M₃

=={x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁}

={x₃-x₁;y₃-y₁;z₃-z₁}

Используем уравнение (4)

(Р): ): A(x-x₁)+B(y-y₁₎+C(z-z₁)=0(5)

Примечание: можно получить это уравнение, используя условие компланарности трёх векторов:

((смешанное произведение)

c

6

Уравнение прямой с угловым коэффициентом «к», проходящей через точку М₀(х₀;у₀)

М₀

α

tg𝛂=ky=k(x-x₀)+y₀ (6)

искомое уравнение

7

Уравнеие прямой с угловым коэффициентом и с начальной ординатой

Пусть tg𝛂=k; у(0)=b

y=kx+b (линейная функция)

α

b