Линейка / Линейная алгебра

Высшая школа экономики

Линейная алгебра

Практические занятия

Анисимова Н.П. уч. год

Практическое занятие 1.

Алгебра матриц.

Задание 1 (творческое).

Задать параметры α и β и числовые матрицы А_3×4 и В_3×4 и вычислить матрицу Х=αА+βВ.

Задание 2.

Дано: А= ;В=

Найти: Х=А+3В

Задание 3

Дано: А=; В=. Найти: Х=3(А+В).

Задание 4.

Дано: А=. Найти : Х=А*В.

Задание 5.

Дано: А=; В=. Найти : Х=А*В^т

Задание 6.

Дано:А=; Х=; Х*А=В. Найти Х.

Задание 7.

Дано: А=; В=; С= .

Найти :Х=А*В-С.

Задание 8.

Дано: А=. Найти обратную матрицу А^-1

Задание 9.

Дано:

А=; В=; С=А*В.

Найти элементы матрицы С: а) с₂₃; b) с₁₂

Домашнее задание по теме «Алгебра матриц».

Задание 1.

Дано: А=; B=.

Найти:С=2А+В

Задание 2.

Дано: А=; В=. Найти: Х=А^Т*В.

Задание 3.

Дано: А=. Найти обратную матрицу и сделать проверку.

(АА^-1=А^-1А=).

Задание 4.

Решить матричное уравнение: Х^Т*А=В; А=; В=; Х=

Задание 5.

Дано: А=; В=; С=.

Найти: Х=А*В-С.

Задание 6.

Дано: А=; В=. С=А*В.

Найти элементы матрицы С: а) с₂₃; b) с₃₄

Практическое занятие 2.

Определители квадратных матриц и их свойства.

Задание 1.

Вычислить определители: а) ; b).

Задание 2.

Решить уравнения:

1); 2) .

Задание 3.

Решить неравенства:

1); 2) ; 3);

4); 5) .

Задание 4.

Дано: А=. Найти алгебраические дополнения для указанных элементов: А₂₃; А₃₃.

Задание 5.

Вычислить определители различными способами:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

Задание 6.

Решить уравнение:

=-.

Задание 7.

Решить неравенство:

.

Задание 8.

Вычислить:

.

Домашнее задание по теме «Определители и их свойства».

Задание 1.

Решить уравнение:

.

Задание 2.

Решить неравенство:

.

Задание 3.

Решить уравнение:

=.

Задание 4.

Решить неравенство:

≤18.

Задание 5.

Вычислить определители:

1); 2).

Задание 6.

Дано: А=. Найти алгебраические дополнения: 1)А₂₂; 2)А₃₁; 3) А₄₂.

Практическое занятие 3.

Квадратные системы линейных уравнений. Решение систем по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы.

Задание 1.

При каких значениях параметра «с» система имеет бесконечно много решений: ?

Задание 2.

При каких значениях параметра «b» система не имеет решений:

?

Задание 3.

При каких значениях параметра «а» система имеет единственное решение: ?

Задание 4.

Решить двумя способами: 1) по формулам Крамера; 2)с помощью обратной матрицы.

1); 2).

Примечание:

Если А=, при этом определитель матрицы ∆≠0

(∆=ad-bc), то обратная матрица вычисляется по формуле:

A^-1=.

Задание 5

Данные системы решить по формулам Крамера:

1) (1;0;-2) ;2)(-1;2;3).

Задание 6.

Дано : А=. Найти обратную матрицу А^-1 и сделать проверку: А*А^-1=А^-1*А=.

Задание 7.

Решить систему с помощью обратной матрицы:

(0;-1;2).

Домашнее задание.

Квадратные системы линейных уравнений. Решение систем по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы.

Задание 1.

При каких значениях параметров «а» и «b» система несовместна

? Ответ: a=-; b≠13.

Задание 2.

При каких значениях параметра «р» система имеет больше одного решения ? Ответ: р=.

Задание 3.

При каких значениях параметра «а» система имеет единственное решение ? Ответ: а=-2±√14.

Задание 4.

Решить двумя способами: 1) по формулам Крамера; 2)с помощью обратной матрицы.

1); 2).

Задание 5.

Решить двумя способами: 1) по формулам Крамера; 2)с помощью обратной матрицы.

1); 2) Ответ: 1) (1;-1;2); 2)(2;0;-3)

Задание 6.(творческое)

Придумайте систему с тремя неизвестными и решите её двумя способами.

Практическое занятие 4.

Ранг матрицы. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.

Задание 1.

Найти ранг матрицы:

А=

Задание 2.

Исследовать систему:

.

Задание 3.

Исследовать систему:

.

Задание 4.

Исследовать систему:

.

Задание 5.

Исследовать систему:

.

Задание 6.

Исследовать однородную систему:

Домашнее задание (творческое)

Ранг матрицы. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.

Задание 1.

Составить систему с 4-мя неизвестными, так, чтобы система имела бесконечное множество решений. Провести полное исследование.

Найти общее и частное решение. Сделайте проверку. (Число уравнений определите сами)

. Задание 2.

Составить систему с 3-мя неизвестными, так, чтобы система имела единственное решение. Провести полное исследование. Найти это решение. Сделайте проверку. (Число уравнений определите сами)

Задание 3.

Составить систему с 4-мя неизвестными, так, чтобы система не имела решений. Провести полное исследование. (Число уравнений определите сами)

Задание 4.

Составить однородную систему с 4-мя неизвестными, так, чтобы система имела бесконечное множество решений. Провести полное исследование. Найти общее и частное решение. (Число уравнений определите сами)

Задание 5.

Составить однородную систему с 3-мя неизвестными, так, чтобы система имела единственное нулевое решение. Провести полное исследование.. (Число уравнений определите сами)

Примечание:

Все задачи оформить аккуратно на отдельных листах с указанием фамилии и номера группы.