Критерий Сильвестра

f(x1, x2, …, x4) = a11x1² + a21x1x2 + a21x2x1 + … + a1nx1xn + an1xnx1 + a22x2² + … + annxn² – квадратичная форма.

Матрица квадратичной формы:

a11 a12 … a1n

Anxn = a21 a22 … a2n

. . . . . . .

an1 an2 … ann

a11 a12 a13

∆1 = an, ∆2 = a11 a12 , ∆3 = a21 a22 a23 , …, ∆n = detA

a21 a22 a31 a32 a33

∆1, ∆2, …, ∆n – угловые миноры матрицы А

Критерий Сильвестра заключается в следующем:

1) Квадратичная форма положительна определена <=> ∆1>0, ∆2>0, …, ∆n>0

(все угловые миноры строго положительны)

2) Квадратичная форма отрицательно определена <=> ∆1<0, ∆2>0, ∆3<0, …, (-1)ⁿ∆n>0

(чередования знаков: -, +, -, +, …)

3) Квадратичная форма квазиположительна <=> миноры k-го порядка

∆(i1, i2, …, ik) ≥ 0 [i1 < i2 < … < ik, k = (1,n)]

4) Квадратичная форма квазиотрицательна <=> (-1)ⁿ∆(i1, i2, …, ik) > 0

(∆(i1, i2, …, ik) – миноры k-го порядка)

5) В остальных случаях квадратичная форма будет знакопеременной.

Пример 1

Определить знак квадратичной формы:

f = -x1² - 5x2² - 6x3² + 4x1x2 – 2x1x3

Составим матрицу квадратичной формы:

-1 2 -1

A = 2 -5 0

-1 0 -6

-1 2 -1

∆1 = -1 = -1; ∆2 = -1 2 =1; ∆3 = 2 -5 0 = -30 + 5 + 24 = -1

2 -5 -1 0 -6

∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 <0

По критерию Сильвестра f < 0 (отрицательно определена)

Пример 2

При каком значении параметра µ следующая квадратичная форма будет положительно определена.

F = 5x1² + x2² + μx3² + 4x1x2 – 2x1x3 – 2x2x3

F>0, μ=?

Матрица квадратичной формы:

5 2 -1

A3x3 = 2 1 -1

-1 -1 μ

Критерий Сильвестра:

∆1=5

∆2= 5 2 = 5-4=1

2 1

∆1>0, ∆2>0

5 2 -1-1 5 2 -1 3 2 -1

∆3= 2 1 -1 > 0 -3 -1 0 > 0 -2 -1 0 > 0

-1 -1μ -1 -1 μ 0 -1 μ

־¹

(раскладываем по третьей строке)

-1 · (-1)⁵ · 3 -1 + μ (-1) ⁶ · 3 2 > 0

-2 0 -2 -1

-2 + μ > 0

Ответ: при μ > 2, F > 0

§3 Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

С помощью линейных преобразований квадратичную форму

F = F (x1, x2, …, xn) можно привести к каноническому виду

F = b1y1² + b2y2² + … + bnyn²

Полезная информация:

a11 a22 … a1n x1

Пусть дана матрица Anxn = a21 a22 … a2n Xnx1 = x2

………. …

an1 an2 … ann xn

Рассмотрим произведение:

Anxn · X nx1 = Y nx1

y1

Y = y2

…

yn

Предположим, что yi = λ · xi, i = (1,n), λЄR, λ ≠ 0

Тогда имеем равенство:

(*) A · X = λ · X

В этом случае вектор-столбец X называется собственным вектором матрицы А.

Коэффициент пропорциональности λ называется характеристическим числом матрицы A или собственным значением.

Как найти характеристическое числа и собственные вектора?

- это однородная система линейных уравнений

Система по теореме Крамера имеет ненулевые решения

Таким образом, для нахождения характеристических чисел необходимо и достаточно решать характеристическое уравнения.

Пусть характеристическое число

Для нахождения собственного вектора, соответствующего числу подставлляем в систему

Т.к. ранг матрицы

То система имеет бесконечно много решений.

Можно доказать, что если характеристические числа матрицы квадратичной формы f, то каноническая форма имеет вид:

f =+…+

Рассмотрим решение задачи (аналогичной той, которая есть в домашней контрольной работе)

Задача

Определить вид кривой.

Построить линию

Решение

Обозначим

Это квадратичная формула от двух переменных

, ;

(матричная запись f в системе координат)

Будем искать другую систему координат , в которой f имеет каноническую форму.

ШАГ 1: Составляем характеристическое уравнение

Характеристические числа

Шаг 2. Находим собственные векторы для каждого числа.

Пусть λ₁= 20

.

-16x+ 12y= 0

.

12x– 9y= 0

[Т.к. r(A)=1, то достаточно оставить одно уравнение.]

12x– 9y= 0 =>x=3/4y,yR

Собственный вектор в общем виде:

Пусть y=4b₁=

Вдальнейшем нам понадобится ортb₁.

||b₁|| = = 5b₁=e₁=

Пусть λ₂ = –5

9x + 12y = 0

12x + 16y = 0

Т.к. r(A)=1 => 9x+ 12y=0 =>x= –4/3y, yR

Собственный вектор в общем виде:

Пустьy=3b₂=

||b₂|| = 5

Орт этого вектораb₂=e₂=

Заметим, чтоe₁,e₂образуют ортонормированный базис.

Контроль! ||e₁|| = ||e₂|| = 1 (e₁ e₂)

e₁e₂ = 0 3/5 (–4/5) + (4/5) (3/5) = 0

Шаг 3. Составляем ортонормированную матрицу Q = (e₁, e₂).

Q=

e₁ e₂

Шаг 4. Переход к новой системе координат.

_T

= Q

=

x₁ = 3/5x + 4/5y

x₂ = –4/5x + 3/5y

Шаг 5. В новой системе координат.

S(x₁,y₁) = λ₁x₁²+ λ₂y₁ ²

S(x₁,y₁) = 20x₁²+ 5y₁²

Каноническая форма.

Шаг 6

В новой системе координат X₁OY₁уравнение нишей линии имеет вид

20x₁² + 5y₁ ²= - 20 | : 20

сопряженная гипербола

a=1

b=2

Алгебраические поверхности второго порядка.

Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность S, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид :

Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+Gx+Hy+Iz+K=0

(A²+B²+C²≠0)

Если поверхность невырожденная (т.е. уравнение не задает Ø), то преобразование декартовой прямоугольной системы координат, это уравнение может быть приведено к одному из указанных видов, называемых каноническими и определяющими тип поверхности.

1. Эллипсоид

2. Гиперболоид

   1. Однополостный

   2. Двухполостный

3. Параболоид

   1. Двухполостной параболоид

   2. Гиперболический параболоид (p>0, q>0)

1. Эллиптический параболоид (p>0, q>0)

1. Конус второго порядка

5. Цилиндр второго порядка

   1. Эллиптический

   2. Гиперболический

   3. Параболический , p>0

Эллипсоид

Сечения плоскостями

y=0

x=0

z=0

Сфера

Однополостный гиперболоид

Сечение плоскостями

y=0

x=0

z=0

Двухполостный гиперболоид

Сечения плоскостями:

z=0 (нет)

о.д.з. =>

|

z

z| = c при z=±c → вершины ( 0,0,с ); ( 0,0,-с )

|z| > c

|

a

c

x

z| = c → эллипс

-a

y

-c

z

=0 сопряженная гипербола

x=0

Гиперболический параболоид

(p>0, q>0)

Сечения на плоскости

z=0

при z > 0

z = 1 гипербола

z = -1 сопряженная гипербола

x=0

y=0

Эллиптический параболоид

z

(P>0, q>0)

Сечения:

X=0

z

x

Y=0

Z=0 (0,0,0) – вершина

z≥0 z=z₀ - эллипс

Конус второго порядка

z=c (эллипс)

z=-c

x=0

y=0

Эллиптический цилиндр

Гиперболический цилиндр

Параболический цилиндр ,

Пара пересекающихся плоскостей

Пара параллельных плоскостей