Линейка / плоскость в пространстве

Высшая школа экономики

Плоскость в пространстве

Творческое задание

Анисимова Н.П.

Задание 1.

Построить плоскости в декартовой прямоугольной системе координат.

Пример1.

Ax+By+C=0

Пример (от автора)

Дано: 2x+3y-6=0(P) (P)(()z)

Строим линию пересечения данной плоскости с плоскостью (хоу) это прямая: 2х+3у-6=02х+3у=6

z

2

y

3

x

Пример2.

Ax+Cz+D=0

Пример (от автора)

3x-5z-15=0 (P); (P) (oy)

Строим линию пересечения данной плоскости с плоскостью (хоz) это

прямая 3x-5z-15=03x-5z=15

z

x

y

-3

5

Пример 3.

By+Cz+D=0

Пример (от автора)

5y+2z-10=0 (P); (P) (0x)

Строим линию пересечения данной плоскости с плоскостью (yоz) это

прямая 5y+2z-10=05y+2z=10

z

5

y

y

2

x

Пример 4.

Ax+D=0

Пример (от автора)

2х-6=0х=3 (Р) (уоz)

z

y

x

3

Пример 5.

By+D=0

Пример (от автора)

3y-6=0y=2 (P)(xoz)

z

y

2

x

Пример 6.

Cz+D=0

Пример (от автора)

5z-20=0z=4(P) (xoy)

z

4

y

x

Пример 7.

Ax+By+Cz+D=0

Пример (от автора)

2x+5y+4z-20=0 (P)2x+5y+4z=20(÷20)

z

5

y

10

4

x

Задание 2.

Дано: ABCD тетраэдр (известны координаты вершин)

D

B

A

C

Найти: 1)Угол между гранями (ADB) и (АВС)

2)Расстояние от вершины (D) до плоскости (АВС)

Пример (от автора)

A(2;0;-4); B(3;1;4); C(2;1;-3);D(3;1;-4)

Решение

Рисунок смотри выше.

Найдём направляющие векторы плоскости (АВС) это=={1;1;8};

=={0;1;1}===-7-+  ={-7;-1;1}вектор нормали плоскости (АВС)

Направляющие векторы плоскости (ABD)это ={1;1;8};=={1;1;0}

===-8-+  ={-8;-8;0}{1;1;0}вектор нормали плоскости (АВD)

1. Угол между гранями (ADB) и (АВС) находим как угол между нормалями этих плоскостей

==≈0,8𝛗=arcos 0,8≈37,6⁰

(Мы находили наименьший угол между плоскостями)

2)Чтобы найти расстояние от вершины (D) до плоскости (АВС), найдём уравнение плоскости (АВС).

Заметим, что мы уже знаем вектор нормали ={-7;-1;1}.

В качестве точки через которую проходит эта плоскость возьмём, например, точку А(2;0;-4)

Используем уравнение плоскости с вектором нормали ,проходящей через заданную точку:.-7(x-2)-y+z+4=0-7x-y+z+18=0

7x+y-z-18=0 (ABC)

Далее используем формулу расстояния от точки до плоскости

Расстояние от точки М₀(х₀;у₀;z₀) до плоскости (P) Ax+By+Cz+D=0.

𝛒(M₀;P)= М₀=D(3;1;-4)

𝛒==