10.7 Анализ текущей стоимости для нескольких периодов

Рассмотрим модель для трех периодов. Предположим, что в каждом периоде мы можем брать и давать деньги взаймы по ставке процента r и что эта ставка процента останется постоянной на протяжении всех трех периодов. Следовательно, цена потребления периода 2, будучи выражена в потреблении периода 1, составит 1/(1+r), - в точности, как и раньше.

Какова будет цена потребления периода 3? Что ж, если я инвестирую сегодня 1 доллар, он превратится в следующем периоде в (1+r) долларов; а если я оставлю эти деньги в виде инвестиций, то к тертьему периоду они превратятся в . Значит, если сегодня я инвестирую, то в периоде 3 я смогу превратить эту сумму в 1 доллар. Цена потребления третьего периода, взятая по отношению к цене потребления первого периода, составляет, следовательно,. Каждый дополнительный доллар потребления в период 3 обходится мне сегодня вдолларов. Это означает, что бюджетное ограничение будет иметь вид:

.

Оно ничем не отличается от бюджетных ограничений, которые мы видели раньше, если считать, что цена потребления периода t, выраженная через сегодняшнее потребление, задается выражением

.

Как и раньше, при заданных ценах потребитель предпочтет перейти к начальному запасу с более высокой текущей стоимостью, так как такое изменение с необходимостью повлечет за собой выдвижение бюджетного множества наружу.

Это бюджетное ограничение выведено нами при предпосылке о постоянных ставках процента, но его нетрудно обобщить до случая с изменяющимися ставками процента. Допустим, например, что процент , приносимый сбережениями с периода 1 до периода 2 составляет , в то время как сбережения с периода 2 по период 3 приносят процент. Тогда 1 доллар в период 1 вырастет додолларов в период 3. Текущая стоимость 1 доллара периода 3 равна, следовательно,долларам. Это означает, что корректный вид бюджетного ограничения будет следующим:

.

С данным выражением дело иметь не так уж трудно, но мы, как правило, будем довольствоваться изучением случая постоянных ставок процента.

В таблице 10.1 содержатся некоторые примеры значений текущей стоимости 1 доллара, полученного через T лет в будущем, при различных ставках процента. Примечательным в этой таблице являетяс то, насколько быстро снижается текущая стоимость для "разумных" ставок процента. Например, при ставке в 10 процентов текущая стоимость 1 доллара, полученного через 20 лет, равна лишь 15 центам.

10.8 Применение текущей стоимости

Начнем с формулирования важного общего принципа: использование текущей стоимости есть единственно правильный способ превращения потока платтеежй в сегодняшние доллары. Этот принцип вытекает непосредственно из определения текущей стоимости: текущая стоимость измеряет стоимость начального запаса денег потребителя. До тех пор, пока потребитель может свободно брать и давать деньги взаймы по постоянной ставке процента, начальный запас с более высокой текущей стоимостью всегда может вызвать в каждом периоде больше потребления, чем начальный запас с более низкой текущей стоимостью. Независимо от ваших вкусов в отношении потребления в различных периодах, вы всегда должны будете предпочесть поток денег с более высокой текущей стоимостью потоку денег с более низкой текущей стоимостью - так как это всегда даст вам больше возможностей для потребления в каждом периоде.

Это рассуждение иллюстрируется рис. 10.6. На этом рисунке () есть потребительский набор, худший, чем набор исходного начального запаса потребителя, (), поскольку он лежит под кривой безразличия, проходящей через точку начального запаса. Тем не менее, потребитель предпочел бы набор () набору (), если бы имел возможность брать и давать взаймы по ставке процентаr. Это верно потому, что, имея набор начального запаса (), он может себе позволить потреблять такой набор, как (), который, несомненно, лучше, чем его текущий потребительский набор.

Таблица 10.1 Текущая стоимость одного доллара, полученного через t лет в будущем

Ставка	1	2	5	10	15	20	25	30
0,05	0,95	0,91	0,78	0,61	0,48	0,37	0,30	0,23
0,10	0,91	0,83	0,62	0,39	0,24	0,15	0,09	0,06
0,15	0,87	0,76	0,50	0,25	0,12	0,06	0,03	0,02
0,20	0,83	0,69	0,40	0,16	0,06	0,03	0,01	0,00

Одно из очень полезных применений текущей стоимости заключается в определении стоимости потоков дохода, приносимых инвестициями различного вида. Если вы хотите сравнить два различных вида инвестиций, приносящих разные потоки платежей, с целью выяснения, который из них лучше, то вы просто исчисляете две текущих стоимости и выбираете большую. Вложение с большей текущей стоимостью всегда дает вам больше возможностей для потребления.

Иногда возникает необходимость приобретения потока дохода путем осуществления выплат с течением времени. Например, можно купить квартиру, заняв деньги в банке и производя платежи по закладной в течение ряда лет. Предположим, что поток дохода () можно купить, производя поток платежей ().

В этом случае можно дать оценку рассматриваемого вложения капитала, сравнив текущую стоимость потока доходов с текущей стоимостью потока платежей. Если

(10.4)

текущая стоимость потока доходов превышает текущую стоимость издержек на их получение, это - хорошее вложение капитала - оно увеличит текущую стоимость начального запаса.

Рис. 10.6 Более высокая текущая стоимость. Начальный запас с более высокой текущей стоимостью дает потребителю больше возможностей потребления в каждом периоде, если потребитель может брать и давать взаймы по рыночным ставкам процента.

Эквивалентным способом оценки капиталовложений является использование идеи чистой текущей стоимости. Чтобы подсчитать эту величину, мы рассчитываем чистый поток денежной наличности в каждом периоде, а затем дисконтируем этот поток, приводя его к настоящему моменту. В рассматриваемом примере чистый поток наличности составляет (), а чистая текущая стоимость есть

.

Сравнивая это выражение с уравнением (10.4), мы видим, что данное вложение капитала имеет смысл сделать только, и только в том случае, если величина чистой текущей стоимости положительна.

Подсчет чистой текущей стоимости очень удобен, поскольку он позволяет нам в каждом периоде складывать все положительные и отрицательные потоки денежной наличности и затем дисконтировать полученный в результате этого сложения поток наличности.

ПРИМЕР: Определение текущей стоимости потока платежей

Предположим, что перед нами два варианта вложений капитала, A и B. Вложение A приносит 100$ сейчас и еще 200$ в будущем году. Вложение B приносит 80$ сейчас и 310$ в будущем году. Какое вложение капитала лучше?

Ответ зависит от ставки процента. Если ставка процента равна нулю, ответ ясен - достаточно сложить инвестиции. Ведь если процентная ставка равна нулю, то расчет текущей стоимости сводится к суммированию платежей.

При нулевой ставке процента текущая стоимость вложения A есть

,

а текущая стоимость вложения B есть

,

поэтому следует предпочесть вложение A.

Однако, при достаточно высокой ставке процента мы получим противоположный ответ. Допустим, например, что эта ставка равна 20 процентам. Тогда расчет текущей стоимости принимает вид

.

Теперь лучшим вложением оказывается A. Тот факт, что вложение A позволяет вернуть больше денег раньше, означает, что при достаточно большой ставке процента текущая стоимость этого вложения будет выше.

ПРИМЕР: Истинная стоимость кредитной карточки

Заем денег с помощью кредитной карточки - дело дорогостоящее: многие компании называют годичные процентные начисления в размере от 15 до 21 процента. Однако, из-за способа, которым эти финансовые начисления подсчитываются, реальные ставки процента оказываются много выше названных.

Предположим, что владелец кредитной карточки дебетует покупку на сумму в 2000$ в первый день месяца и что финансовое начисление составляет 1,5 процента в месяц. Если к концу месяца потребитель выплачивает сальдо целиком, то он не должен выплачивать финансовое начисление. Если же потребитель не выплачивает ни цента из суммы в 2000$, ему придется выплатить в начале следующего месяца финансовое начисление в размере .

Что произойдет, если потребитель выплатит 1800$ против сальдо в 2000$ в последний день месяца? В этом случае потребитель занял только 200$, так что финансовое начисление должно бы составить 3$. Однако, многие компании, занимающиеся кредитными карточками, начисляют потребителям гороздо большие суммы. Причина состоит в том, что многие компании основывают свои начисления на "среднемесячном сальдо", невзирая на то, что часть этого сальдо выплачивается к концу месяца. В нашем примере среднемесячное сальдо составило бы около 2000$ (30 дней с 2000-долларовым сальдо и 1 день с 200-долларовым сальдо). Таким образом, финансовое начисление было бы чуть меньше 30$, несмотря на то, что потребитель занял лишь 200$. Если основываться на фактически взятой взаймы сумме денег, то такое начисление соответствует процентной ставке в размере 15 процентов в месяц!