Пример оценки сложности алгоритма с ветвлениями
Разбиение всего множества комбинаций (в данном случае каждая комбинация определяется только значением переменной X) показано на рисунке:
Рис. Геометрическая вероятность ввода значений переменной, определяемая длинами отрезков числовой прямой
(значения равновероятны)
21
Пример оценки сложности алгоритма с ветвлениями
Таким образом, при выполнении программы возможен выбор трёх ветвей:
1)ветви Y := (X + 0.5) * 2, соответствующей условию X < 0.5, вес (сложность) которой составляет 5 (ввод, проверка условия, вычисление выражения (2 операции) и присваивание), а вероятность выбора равна 0.5;
2)ветви Y := X * 2 + 0.5 + X**3, соответствующей условию
not(X < 0.5) and (X < 0.75), вес (сложность) которой составляет 10 (ввод, проверка условия X < 0.5, проверка условия X < 0.75, вычисление выражения (6 операций) и присваивание), а вероятность выбора равна 0.25; 3) ветви Y := X, соответствующей условию not(X < 0.5) and not(X < 0.75), вес (сложность) которой составляет 4 (ввод, проверка условия X < 0.5, проверка условия X < 0.75, и присваивание), а вероятность её выбора – примерно 0.25.
|
Средняя сложность алгоритма составляет |
22 |
TAvrg = 0,5 5 + 0,25 10 + 0,25 4 = 2,5 + 2,5 + 1 = 6. |
|
Оценка алгоритмов, содержащих циклы с предусловием и постусловием
Операторы цикла изображаются в управляющем графе замкнутой последовательностью вершин – циклом. Если выражения, определяющие начальное и конечные значения параметра цикла – константы, то можно посчитать, сколько раз будет выполняться цикл, и умножить это число на вес (сложность) тела цикла. Если число повторений зависит от исходных данных, то необходимо оценить значение разности между начальным и конечным значениями в худшем, лучшем и среднем случаях.
while . . . do . . . |
repeat . . . until . . . |
|
условие |
тело |
условие |
|
23 |
тело |
|
Оценка алгоритмов, содержащих циклы со счётчиком
Пример 1. Процедура содержит цикл вида
for I := 1 to X do Тело цикла
Для оценки сложности данного фрагмента кода нужно оценить сложность тела цикла и умножить на число его выполнений цикла.
Допустим, что переменная X может принимать значения от 0 до 100 с равной вероятностью (1/101).
Тело цикла выполняется X раз, причём худший случай реализуется при
X = 100, а наилучший – при X = 0.
Среднее число выполнений тела цикла равно
tAvrg = 1/101 0 + 1/101 1 + 1/101 2 + … + 1/101 100 = = 1/101 (0+1+2+…+100) = 1/101 (0+100)/2 101 = 50.
Для более точной оценки оценивается и сложность операций, 24 записанных в заголовке цикла.
Оценка алгоритмов, содержащих циклы со счётчиком
Пример 1. Процедура содержит цикл вида
for I := 1 to X do Тело цикла
Для оценки сложности данного фрагмента кода нужно оценить сложность тела цикла и умножить на число его выполнений цикла.
Допустим, что переменная X может принимать значения от 0 до 100 с равной вероятностью (1/101).
Тело цикла выполняется X раз, причём худший случай реализуется при
X = 100, а наилучший – при X = 0.
Среднее число выполнений тела цикла равно
tAvrg = 1/101 0 + 1/101 1 + 1/101 2 + … + 1/101 100 = = 1/101 (0+1+2+…+100) = 1/101 (0+100)/2 101 = 50.
Для более точной оценки оценивается и сложность операций, 25 записанных в заголовке цикла.
Оценка алгоритмов, содержащих циклы со счётчиком
Пример 2. Процедура содержит вложенные циклы вида for I := 1 to X do
for J := I to X do Тело цикла
Допустим, что переменная X может принимать значения от 1 до 5 с равной вероятностью (1/5).
Внешний цикл выполняется X раз. Тело цикла выполняется
X + (X – 1) + (X – 2) + … + 1 = X (X + 1)/2
раз, причём худший случай реализуется при X = 5, а наилучший – при X = 1. Таким образом, верхняя граница сложности равна X (X+1)/2 = 5 (5+1)/2 = 15. Минимальное число выполнений тела цикла равно X (X+1)/2 = 1 (1+1)/2 = 1.
Среднее число выполнений тела цикла равно
26
Оценка алгоритмов, содержащих циклы со счётчиком
Пример 3. Оценим сложность алгоритма умножения двух квадратных матриц A и B размерностью N N и получения в качестве результата третьей матрицы C:
for I := 1 to N do {Цикл 1}
for J := 1 to N do {Цикл 2} begin
C[I,J] := 0;
for K := 1 to N do {Цикл 3}
C[I,J] := C[I,J] + A[I,K]* A[K,J]
end
В качестве параметра, определяющего сложность данных, в этом случае можно взять N.
27
Оценка алгоритмов, содержащих циклы со счётчиком
Пример 3 (продолжение).
Сложность алгоритма определяется величиной T (N) = N (T1),
где T1 – сложность тела цикла 1 по I, которая равна T1 = N (T2),
где T2 – сложность тела цикла 2 по J равна T2 = 1 + N (T3).
Здесь сложность тела цикла 3 по K (T3) равна 3 (умножение, сложение и присваивание), а 1 операция – это присваивание начального значения элементу матрицы C.
Выполняем подстановку и получаем выражение сложности алгоритма через сложность исходных данных:
28 T (N) = N (N (1 + N 3)) = N (N + N 2 3) = N 2 + N 3 3 = 3N 3 + N 2.
Оценка рекурсивных алгоритмов (простая рекурсия)
Условие, заданное в рекурсивном алгоритме, делит все комбинации
входных данных на два подмножества: для первого выполняется условие завершения рекурсивных вызовов – присваивание начального значения и возврата из рекурсии (обратного хода), для второго рекурсивные вызовы продолжаются.
Необходимо установить зависимость числа рекурсивных вызовов от того, как меняются данные. Эти оценки в каждом случае выполняются «индивидуально», но все операции в алгоритме можно разбить на группы:
– |
Операции, которые выполняются при проверке условия (они выполняются |
|
всегда). |
– |
Операции, выполняемые по нерекурсивной ветви (выполняются один раз – |
|
перед выходом из рекурсии, это начало обратного хода рекурсии). |
– |
Операции, которые выполняются при выборе рекурсивной ветви (каждый |
29 |
раз, когда проверка условия приводит к рекурсивному вызову). Эти |
операции также разбиваются на группы. |
Оценка рекурсивных алгоритмов (простая рекурсия)
Операции, которые выполняются при выборе рекурсивной ветви (каждый раз, когда проверка условия приводит к рекурсивному вызову) разбиваются на группы:
–операции, понижающие сложность исходных данных при рекурсивном вызове;
–операции, выполняемые при рекурсивном вызове с новыми данными, сложность которых стала ниже (это сложность самого рекурсивного алгоритма);
–операции, выполняемые каждый раз при выборе этой рекурсивной ветви, но не связанные с рекурсивным вызовом или понижением сложности данных.
30