вышмат / теория / 24. Производные высших порядков

Билет 24

 Производные высших порядков явно заданной функции

Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у"

Итак, у"=(у')'.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной  (n-1) порядка:

y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1)) .

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (у^ν или у⁽⁵⁾— производная пятого порядка).

<< Пример 23.1

Найти производную 13-го порядка функции у=sinx.

Решение:

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

В определении функции у=ƒ(х) не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях, когда функция является формулой вида у=х³/5-5х+7, значения функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций у=sinx, у=ln(1+х) при любых (допустимых) значениях аргумента?

Для того, чтобы вычислить значения данной функции у=ƒ(х), ее заменяют многочленом Р_n(х) степени n, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.

26.1. Формула Тейлора для многочлена

Пусть функция ƒ(х) есть многочлен Р_n(х) степени n:

ƒ(х)=Р_n(х)=а₀+а₁х+а₂х²+...+а_nхⁿ.

Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени n относительно разности х-х₀, где х₀ — произвольное число, т. е. представим Р_n(х) в виде

Р_n(х)=А₀+A₁(x-х₀)+А₂(х-х₀)²+...+А_n(х-х₀)ⁿ        (26.1)

Для нахождения коэффициентов А₀, А₁ ,..., А_n продифференцируем n раз равенство (26.1):

Р'_n(х)=А₁+2А₂(х-x₀)+3A₃(x-x₀)²+...+nA_n(x-x₀)^n-1,

Р_n''(х)=2А₂+2•3А₃(х-х₀)+...+n(n-1)А_n(х-х₀)^n-2,        

Р_n"'(х)=2•3А₃+2•3•4А₄(х-х₀)+...+n(n-1)(n-2)А_n(х-х₀)^n-3,

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Р_n⁽ⁿ⁾(х)=n(n-1)( n-2)...2•1А_n

Подставляя х=х₀ в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:

Подставляя найденные значения A₀,A₁,...,An в равенство (26.1), получим разложение многочлена n-й степени Р_n(х) по степеням (х-х0):

Формула (26.2) называется формулой Тейлора для многочлена Р_n(х) степени n.

<< Пример 26.1

 Разложить многочлен Р(х)=-4х³+3х²-2х+1 по степеням х+1.

Решение: Здесь х₀=-1, Р'(х)=-12х²+6х-2, Р"(х)=-24х+6, Р'"(х)=-24. Поэтому Р(-1)=10, Р'(-1)=-20, Р"(-1)=30, Р'"(-1)=-24. Следовательно,

т. е.  -4х³+3х²-2х+1=10-20(х+1)+15(х+1)²-4(х+1)³.

Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:

При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

1), где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. R_n - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением 

2)

k-тый коэффициент (при х_k) ряда определяется формулой

3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)

при a=0 

члены ряда определяются по формуле

Условия применения рядов Тейлора.

1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).

2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.

Свойства рядов Тейлора.

1. Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.

2. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации ( приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от  linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.