-
Системы обслуживания, экспоненциальные случайные величины. и пуассоновские модели.
Система массового обслуживания (СМО) - система, которая производит обслуживание поступающих в неё требований. Обслуживание требований в СМО производится обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов. В зависимости от наличия возможности ожидания поступающими требованиями начала обслуживания СМО подразделяются на
-
системы с потерями, в которых требования, не нашедшие в момент поступления ни одного свободного прибора, теряются;
-
системы с ожиданием, в которых имеется накопитель бесконечной ёмкости для буферизации поступивших требований, при этом ожидающие требования образуют очередь;
-
системы с накопителем конечной ёмкости (ожиданием и ограничениями), в которых длина очереди не может превышать ёмкости накопителя; при этом требование, поступающее в переполненную СМО (отсутствуют свободные места для ожидания), теряется.
Выбор требования из очереди на обслуживание производится с помощью так называемой дисциплины обслуживания. Их примерами являются FCFS/FIFO (пришедший первым обслуживается первым)- First In, First Out («первым пришёл — первым ушёл», LCFS/LIFO (пришедший последним обслуживается первым), Last-In-First-Out («последним пришёл — первым ушёл») является противоположностью абстракции FIFO. Разница, возможно, станет яснее, если принять во внимание реже используемый синоним FILO, означающий First-In-Last-Out («первым пришёл — последним ушёл»). В сущности, обе абстракции являются конкретными случаями более общего понятия работы со списком. Разница не в списке (данных), а в правиле доступа к содержимому. В первом случае добавление делается к одному концу списка, а снятие с другого, во втором случае добавление и снятие делается на одном конце. RANDOM (случайный выбор). В системах с ожиданием накопитель в общем случае может иметь сложную структуру.
Основные понятия. Требование (заявка) — запрос на обслуживание.
Входящий поток требований — совокупность требований, поступающих в СМО.
Время обслуживания — период времени, в течение которого обслуживается требование.
Математическая модель СМО — это совокупность математических выражений, описывающих входящий поток требований, процесс обслуживания и их взаимосвязь.
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Мы
говорим, что случайная
величина 
имеет экспоненциальное (показательное) распределение,
если
(0)
Пусть 
-
время ожидания события, тогда из
формулы (0) следует, что вероятность
того, что это событие наступит раньше
x равна 
.
Этот удобный формализм позволяет
описывать моменты возникновения
случайных событий.
Параметр λ оценивается на основе реальных данных.
Плотность экспоненциального распределения имеет вид
,
(1)
где λ>0 —положительная постоянная, называемая параметром экспоненциального распределения.
Заметьте, экспоненциальное распределение сосредоточено на положительной полуоси.
Экспоненциальная случайная величина принимает положительные значения.
Среднее
значение 
равно 
Дисперсия 
равна 
Из формулы (0) следует:
Иными
словами, вероятность того, что следующее
событие наступит через время больше 
,
равна 