вышмат / теория / 1-4. Натуральные и целые числа

1. Натуральные и целые числа. Принцип математической индукции. Пример.

Натуральные числа – числа, возникающие естественным путем.

• Перечисление (первый, второй, третий.)

• Количество (Один, два, три)

Свойства натуральных чисел:

• Свойства сложения:

X+(Y+Z)=(X+Y)+Z - ассоциативность

X+Y=Y+X – коммутативность

• Свойства умножения

X(YZ)=(XY)Z- ассоциативность

XY=YX– коммутативность

1X=X

X(Y+Z)=XY+XZ – дистрибутивность

Неарифметические свойства связаны с порядком следования.

Для любого натурального Х существует единственное натуральное число Sx=X+1 следующего за числом X.

Sx ≠1 для всех Х

Отношение порядка натуральных чисел а<b, если существует такое натурально n, что b=a+n->x<Sx<S(Sx)

Если x₁,x₂ - различные категории числа, то рассмотрев только те , которые меньше x₁ и выбрав из них минимальные, получим минимальные из x₁ x₂

Целые числа

Множество целых чисел это Z={-2,-1,0,1,2} определены как замкнутые множества натуральных чисел N относительно арифметических операций сложения и вычитания.

Свойства целых чисел

• Свойства сложения:

X+(Y+Z)=(X+Y)+Z - ассоциативность

X+Y=Y+X – коммутативность

Существует единственное число 0, такое что X+0=X

Для любого целого числа X, существует единственное число (-X), называемое противоположным (-X)+(X)=0 (симметритизация)

• Свойства умножения

X(YZ)=(XY)Z- ассоциативность

XY=YX– коммутативность

1X=X

X(Y+Z)=XY+XZ – дистрибутивность

Свойства связанные с порядком следованием, распространяемое с натуральных чисел на целые.

Пусть -X<0<Y тогда по определению -Y<-X<0. Также -X<0<Y, где X и Y – произвольные.

Математическая индукция

Один из методов доказательства. Используется для того, чтобы доказать истинность некого утверждения для всех натуральных чисел.

1. База индукции верно с номером n

2. Индуктивный переход верно для n+1

1³+2³+3³…+n³=((n(n+1))/2)²

1. Проверка для n=1

1³⁼

1=1 – верно

2. Пусть утверждении верно для всех n<k

3. Индуктивный переход

1³+2³+3³…+(n+1)³ = + (n+1)³=()+(n+1)³=–верно

2. Рациональные числа или расширение целых. Соразмерность. Рациональная прямая. Изоморфизм.

Рациональные – числа вида m/n, где m, n – целые, причем n≠0

Равенства и алгебраические операции

1. Равенства дробей a/b=c/d, если ad=cb (a, b, c, d – целые)

Справедливо m/n=(-m)/(-n)

2. Умножение. Пусть r=m/n и s=m’/n’, тогда по определению rs=mm’/(nn’)

3. Сложение. Пусть r=m/n и s=m’/n’, тогда r+s=(mn’+m’n)/(nn’)

4. Определение порядка для рац. чисел:

Пусть R=m/n и S=m’/nэб тогда R<S, если mn’<nm’.

Арифметические свойства:

1. Сложения.

1. x+(y+z)=(x+y)+z

2. x+y=y+x

3. сущ. такое число 0, x+0=x

4. для любого целого x, сущ. одно число (-x), (-x)+x=0.

2. Умножения.

1. x(yz)=(xy)z

2. xy=yx

3. существует одно число = 1, кот. 1x=x

4. Для любого целого числа x≠0, сущ. ед. число x^-1, называемое обратным

x*x^-1=1.

3. Дистрибутивность.

x(y+z)=xy+xz

Если мы представим все рациональные числа в виде k/1, то получится, что рац. вмещают в себя целые.

Если R=m/n и R’=m’/n’ – два произвольных рац. числа, то R=(mn’)s и R’=(m’n)s, где s=1/(nn’)>0.

Соответствующие числа получаются откладыванием отрезка [0,s], соотв. число раз влево и вправо, зависит от знаков R и R’.

Отрезок [0,s] называется общей мерой отрезков [0,|R|] и [0,|R’|].

Рациональная прямая.

R=m/n, где n – натуральное, нужно разделить на отр [0,1], нужно разделить на n частей. Первая справа от нуля точки соответствует дроби 1/n, дробь m/n изображается точкой, получающейся откладыванием 1/n вправо m раз, если m>0, влево (-m) раз m<0.

Для любой рациональной точки R>0 длина отр [0,R] равна R, для R<0 длина отр. То [R,0] равна –R.

Изоморфизм. В общих чертах его можно описать так: Пусть даны два множества с определённой структурой (группы, кольца, линейные пространства и т. п.). Биекция между ними называется изоморфизмом, если она сохраняет эту структуру. Если между такими множествами существует изоморфизм, то они называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких множеств со структурой.

Сохраняет все алгебраические операции и свойства в задачах алгебры или свойства предельного перехода или непрерывности в началах анализа, то изоморфный образ можно считать копией данного множества.

3. Иррациональные отрезки. Действительные числа и операции над ними. Порядок. Существование корней.

Иррациональный отрезок несоизмерим, мы не можем отложить его или соизмеримый от нуля.

Предположим, что диагональ и сторона соизмеримы, т.е. их длины равны ns и ms., где s – их общая мера, m,n - натуральные числа. Тогда x=m/n, можем предположить, что m/n – несократимая, 2=m²/n², то m²=2n², т.е. m=2k, т.е. n²=2k², n – четно. X – не может быть представимо в виде m/n => 2^1/2 – не рациональное число.

Вещественные или действительные числа.

Действительные числа – мат. абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окруж. мира, а также проведение таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений.

Под множеством понимается произвольная совокупность элементов, которая меняется как единое целое.

Действия над действит. числами:

1. a+b=b+a

2. a+(b+c)=(a+b)+с

3. ∃0∈R, a∈R, a+0=a

4. a+(-a)=0

5. ab=ba

6. a(bc)=(ab)c

7. 1∈R, a∈R, a1=a

8. a∈R, a≠0, a^-1∈R, aa^-1=1

9. a, b, c∈R, a(b+c)=ab+ac

10. Нетривиальность поля: 1≠0.

Действия над множествами:

Пересечение: A∩B, A={0,1,2,3}, B={-1,0,1,10}, то A∩B={0,1}

Объединение: A∪B, A={0,1,2}, B={-2,-1,0,1}, то A∪B={-2,-1,0,1,2}

Разность.

Прямое произведение.

4. Числовая ось или прямая – это прямая, на кот. выбраны:

- некоторая точка 0 – начало отсчета

- положительное направление, указанное стрелкой

- масштаб для измерения длин, еденичный отрезок

Полнота:

Лемма о вложенных отрезках. Принцип вложенных отрезков Коши-Кантора.

Для всякой системы вложенных отрезков

[a₁, b₁]->[a₂, b₂]->…->[a_n, b_n]

Существует хотя бы одна точка с, принадлежащая всем отрезкам данной системы.

Длина отрезков системы стремится к нулю.