-
Равномерные с.в. и геометрические вероятности. «Случайные моменты времени» и задача о встрече.
Равномерные случайные величины
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [а, в], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, т. е. если дифференциальная функция распределения f(х) имеет следующий вид:
Иногда это распределение называют законом равномерной плотности. Про величину, которая имеет равномерное распределение на некотором отрезке, будем говорить, что она распределена равномерно на этом отрезке.
Найдем значение постоянной с. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, равна 1, то
откуда с=1/(b-a).
Теперь
функцию f(x) можно
представить в виде
Построим функцию распределения F(x), для чего найдем выражение F(x) на интервале [a, b]:
Графики функций f(x) и F(x) имеют вид:
Найдем
числовые характеристики.
Используя формулу для вычисления математического ожидания НСВ, имеем:
Таким образом, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a, b] совпадает с серединой этого отрезка.
Найдем дисперсию равномерно распределенной случайной величины:
откуда сразу же следует, что среднее квадратическое отклонение:
Найдем
теперь вероятность попадания значения
случайной величины, имеющей равномерное
распределение, на интервал (,),принадлежащий
целиком отрезку [a, b]: 
|
|
Геометрически эта вероятность представляет собой площадь заштрихованного прямоугольника. Числа а и b называются параметрами распределенияи однозначно определяют равномерное распределение.
Геометрические вероятности
Когда
мы рассматривали классическое определение
вероятности, мы имели дело всегда с
конечным числом элементарных событий,
т.е. число возможных исходов данного
испытания было конечно. Однако, иногда
результатов испытания — событий —
может бесконечное число. Так, например,
если испытание — выбор точки из отрезка 
.
В данном случае мы тоже можем определить
вероятность наступления того или иного
события, но несколько иначе, чем в
классическом случае.
Замечание. В дальнейшем нам понадобится понятие меры множества. Если рассматривать множества на прямой, т.е. отрезки, то их мерой будет длина, на плоскости — фигуры — площадь, в простанстве — тела — объем.
Определение. Пусть 
—
множество в 
-мерном
пространстве (
),
объем которого 
конечен.
Множество событий состоит из всех
измеримых (имеющих объем) подмножеств 
.
Вероятность наступления события 
тогда
определяется равенством
Определение. Предыдущее равенство называется геометрическим определением вероятности.
Замечание. В классическом случае для определения вероятности мы считали число элементарных событий, т.е. мощность множества, которую тоже можно считать мерой множества, так же, как и объем. Вероятность часто называют вероятностной мерой.
Замечание. От того, какую меру мы выберем, будет зависеть и вероятность интересующих нас событий. Так, известен парадокс Бертрана. Решается следующая задача. В круге случайным образом проводится хорда. Найти вероятность того, что ее длина будет больше длины стороны правильного вписанного треугольника.
Если мы считаем, что один конец хорды закреплен, а другой случайным образом попадает на окружность, то вероятность равна 1/3.
Если же считать, что проводим хорды перпендикулярно некоторому диаметру, то получим 1/2.
Для
геометрической вероятности, как и в
классическом случае, определяется
условная вероятность 
,
независимость событий (
),
справедливыми будут и теорема о
вероятности суммы событий, и теорема
умножения вероятностей, и формула полной
вероятности, и теорема Байеса.
Докажем здесь теорему о вероятности суммы событий. В доказательстве ее в классическом случае мы пользовались классическим определением вероятности. Все остальные определения и теоремы были даны и доказаны уже безотносительно классической схемы.
Теорема. Для
несовместных событий 
и 
