Макро Арефьев с хсехелп / Вариант 1

ТЕОРИЯ РОСТА Контрольная работа ФИО _______________________________________ Группа ____________

Теоретическое задание.

Фундаментальные вопросы теории роста и модель Солоу.

Задача

Рассмотрим модель Солоу с производственной функцией Кобба-Дугласа и с природными ресурсами. Предпосылки модели задаются следующей системой уравнений:

, , , ,

где - выпуск, - капитал, - эффективность труда, - труд, - природные ресурсы, - эластичность выпуска по капиталу, - темп технического прогресса, - темп роста населения, - темп выбытия природных ресурсов, - норма сбережения, - норма износа оборудования.

Пусть - капиталоемкость продукции,

.

Задания.

1. Из гипотез модели выразите линейное дифференциальное уравнение относительно капиталоемкости продукции. Решите это уравнение.

2. Используя решение, полученное в предыдущем пункте задачи, определите, к чему стремится капиталоемкость продукции на траектории сбалансированного роста через параметры модели.

3. Выразите выпуск на траектории сбалансированного роста через капиталоемкость продукции на траектории сбалансированного роста. Из полученного выражения определите темпы роста экономики на траектории сбалансированного роста.

4. Выразите потребление на момент через капиталоемкость продукции на момент , эффективный труд на момент и параметры модели. Используя выражение для капиталоемкости продукции на траектории сбалансированного роста, определите норму сбережения, соответствующую золотому правилу. Как норма сбережений, соответствующая золотому правилу в модели Солоу с природными ресурсами соотносится с нормой сбережений, соответствующей золотому правилу в модели Солоу без природных ресурсов?

5. Из условий максимизации прибыли фирмой, выразите ставку процента через капитал, природные ресурсы, эффективный труд и параметры модели. Затем подставьте вместо , из пункта 3, и выразите ставку процента через капиталоемкость продукции, природные ресурсы, эффективный труд и параметры модели. После этого, используя результат задания 2, выразите ставку процента на траектории сбалансированного роста через параметры модели.

6. Сравните результаты пунктов 3, 4 и 5 и ответьте на вопрос: в случае, если запас капитала на траектории сбалансированного роста соответствуют золотому правилу, как соотносятся темпы экономического роста на траектории сбалансированного роста и реальная ставка процента? Является ли этот результат таким же, как в модели Солоу без природных ресурсов или же отличается от него?

ТЕОРИЯ РОСТА Контрольная работа ФИО _______________________________________ Группа ____________

Теоретическое задание.

Фундаментальные вопросы теории роста и модели роста, основанные на R&D.

Задача

Рассмотрим модель Солоу с производственной функцией Кобба-Дугласа и с человеческим капиталом. Предпосылки модели задаются следующей системой уравнений:

, , , ,

где - выпуск, - капитал, - эффективность труда, - труд, - эластичность выпуска по капиталу, - темп технического прогресса, - темп роста населения, - норма сбережения, - норма износа оборудования. Известно, что

Пусть и - соответственно физический и человеческий капитал в расчете на единицу эффективного труда.

Задания.

1. Представьте производственную функцию в интенсивной форме: выразите выпуск в расчете на единицу эффективного труда через физический и человеческий капитал в расчете на единицу эффективного труда.

2. Из предпосылок уравнений получите систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно и .

3. Выразите уравнение, определяющие пары значений и , для которых . Зная, что , определите, является ли уравнение линии выпуклым или вогнутым в координатах ( и ). Изобразите линию в координатах и . Пользуясь результатами задания 2, определите, что происходит с (растет или убывает), если экономика находится выше линии ? Ниже?

4. Аналогично заданию 3, постройте график функции и определите, что происходит с , если экономика находится выше или ниже линии .

5. Постройте в одной плоскости линии и . Покажите стрелками направления изменения и в каждой из четырех участков, на которые разбивается плоскость линиями и . Изобразите несколько траекторий динамики, которые бы показывали все качественно различные случаи динамики системы. Является ли траектория сбалансированного роста локально устойчивой?

6. Воспользуйтесь выражениями, задающими линии и , и выведите из них логарифмы физического и человеческого капитал на единицу эффективного труда на траектории сбалансированного роста ( и ) через параметры модели.

7. Используя решение предыдущего задания, выразите выпуск на единицу эффективного труда на траектории сбалансированного роста () через параметры модели.

8. Определите четыре следующих эластичности:

   1. эластичности выпуска на единицу эффективного труда по норме сбережения в физический капитал;

   2. эластичности выпуска на единицу эффективного труда по норме сбережения в человеческий капитал;

   3. эластичности потребления на единицу эффективного труда по норме сбережения в физический капитал;

   4. эластичности потребления на единицу эффективного труда по норме сбережения в человеческий капитал.

9. Определите нормы сбережений в человеческий и физический капитал, соответствующие золотому правилу.

10. Предположим, что экономика находится на траектории сбалансированного роста. Определите ставку процента и рыночную стоимость аренды единицы человеческого капитала в экономике, в которой запас капитала соответствует золотому правилу. Для этого в условия первого порядка фирм подставьте значения и из задания 7, в которые вместо и подставьте значения, найденные в задании 9. Как найденные ставка процента и стоимость аренды капитала соотносятся с темпами экономического роста на траектории сбалансированного роста?

ТЕОРИЯ РОСТА Контрольная работа ФИО _______________________________________ Группа ____________

Теоретическое задание.

Фундаментальные вопросы теории роста и модель созидательного разрушения.

Задача

Одним из свойств технического прогресса является то, что капитал, созданный к моменту , зависит от уровня технологии в момент и не совершенствуется за счет будущего технического прогресса. Эта гипотеза известна как гипотеза воплощенного технического прогресса (технический прогресс должен быть «воплощен» в капитале до того, как он приведет к росту выпуска). В данной задаче Вам предлагается исследовать последствия этого эффекта.

(а) Во-первых, модифицируем базовую модель Солоу, предположив, что технический прогресс воплощается в капитале, а не в труде. Для того, чтобы существовала траектория сбалансированного роста, предположим, что производственная функция имеет вид Кобба-Дугласа, . Предположим, что растет с темпом : .

Покажите, что экономика стремится к траектории сбалансированного роста, и определите темпы роста и на траектории сбалансированного роста. (Подсказка: покажите, что мы можем записать как функцию от , где , после чего проведите анализ динамики .)

(б) Теперь введем гипотезу воплощенного технического прогресса. Предположим, что производственная функция имеет вид , где – эффективный запас капитала. Динамика задается выражением . Множитель в последнем выражении показывает, что инвестиции в момент зависят от технологии в момент .

Покажите, что экономика стремится к траектории сбалансированного роста. Каковы темпы роста и на траектории сбалансированного роста? (Подсказка: обозначьте , после чего воспользуйтесь тем же подходом, что и в пункте (а), анализируя динамику вместо ).

(в) Какова эластичность выпуска по на траектории сбалансированного роста?

(г) Какова скорость сходимости к траектории сбалансированного роста в ее окрестности?

(д) Сравните результаты пунктов (в) и (г) с соответствующими результатами в модели Солоу.

ТЕОРИЯ РОСТА Контрольная работа ФИО _______________________________________ Группа ____________

Теоретическое задание.

Фундаментальные вопросы теории роста и модель распространения идей, предложенная Лукасом.

Задача

3.6. Производственная функция Этьера. (Этьер, 1982). Пусть производственная функция имеет вид , где это используемое количество капитального блага , а измеряет диапазон потенциальных капитальных благ.

(а) Пусть равно для и равно нулю в других случаях. Найдите как функцию от , , и .

(b) Пусть арендная плата за капитальное благо равна , а заработная плата равна . Рассмотрим фирму, стремящуюся произвести 1 единицу выпуска с минимальными затратами.

(i) Постройте функцию Лагранжа для задачи минимизации фирмы.

(ii) Найдите условие первого порядка для .

(iii) Покажите, что из условия первого порядка следует, что эластичность спроса на капитальное благо равна . (Обратите внимание, что поскольку цена монополиста, максимизирующего прибыль, равна произведению и издержек, то прибыль монополиста-поставщика капитального блага при максимизирующей прибыль цене равна или , где - максимизирующая прибыль цена капитального блага , а - величина спроса при этой цене).

ТЕОРИЯ РОСТА Контрольная работа ФИО _______________________________________ Группа ____________

Теоретическое задание.

Ответьте на следующие два вопроса:

1. Концепция, лежащая в основе моделей эндогенного роста.

2. Критика Джонса моделей, основанных на R&D.

Задача

Рассмотрим производственную функцию вида . Предположим, что в экономике наблюдается несовершенная конкуренция, при этом спрос на продукцию одной фирмы имеет эластичность, равную .

Введем следующие обозначения:

- доли расходов соответственно на капитал, на труд и на промежуточную продукцию в общих расходах;

- доли доходов капитала, труда, промежуточной продукции и доля прибыли в общих доходах;

- отдача от масштаба;

- доля наценки в цене .

Задания.

1. Покажите, что если производственная функция описывается постоянной отдачей от масштаба, в экономике наблюдается совершенная конкуренция, при этом технический прогресс нейтрален по Хиксу, то

,

где - доли доходов труда и капитала в общем доходе.

2. Выведите уравнение, связывающее между собой наценку фирм и эластичность спроса на продукцию одной фирмы. Выведите уравнение, связывающее между собой отдачу от масштаба, наценку и долю прибыли в ВВП.

Подсказка 1: для определения размера наценки следует решить задачу максимизации прибыли вида , а для определения доли прибыли в ВВП – задачу вида . Подсказка 2: будьте аккуратны с нормализацией цен. Нормализацию следует проводить после нахождения условий первого порядка задачи фирмы.

3. Базу и Фернальд оценивают долю прибыли в ВВП в 3%, а однородность производственной функции в 101%. Каков средний размер наценки?

4. Пусть технология производства одной фирмой задается уравнением , где М – промежуточная продукция. Покажите, что в случае нейтральности по Хиксу технического прогресса, несовершенной конкуренции и непостоянной отдачи от масштаба, мы можем записать: , где - доли расходов на труд и на капитал в общих расходах.

5. Покажите, как связаны между собой доли доходов и доли расходов .