Макро Арефьев с хсехелп / Решенный вариант 5
.docВариант 1. Рассмотрим модель Солоу с производственной функцией Кобба-Дугласа и с природными ресурсами. Предпосылки модели задаются следующей системой уравнений:
,
,
,
,
где
- выпуск,
- капитал,
- эффективность труда,
- труд,
- природные ресурсы,
- эластичность выпуска по капиталу,
- темп технического прогресса,
- темп роста населения,
- темп выбытия природных ресурсов,
- норма сбережения,
- норма износа оборудования.
Пусть
- капиталоемкость продукции,
.
Задания.
-
Из гипотез модели выразите линейное дифференциальное уравнение относительно капиталоемкости продукции. Решите это уравнение.
-
Используя решение, полученное в предыдущем пункте задачи, определите, к чему стремится капиталоемкость продукции на траектории сбалансированного роста через параметры модели.
-
Выразите выпуск на траектории сбалансированного роста через капиталоемкость продукции на траектории сбалансированного роста. Из полученного выражения определите темпы роста экономики на траектории сбалансированного роста.
-
Выразите потребление на момент
через капиталоемкость продукции на
момент
,
эффективный труд на момент
и параметры модели. Используя выражение
для капиталоемкости продукции на
траектории сбалансированного роста,
определите норму сбережения,
соответствующую золотому правилу. Как
норма сбережений, соответствующая
золотому правилу в модели Солоу с
природными ресурсами соотносится с
нормой сбережений, соответствующей
золотому правилу в модели Солоу без
природных ресурсов? -
Из условий максимизации прибыли фирмой, выразите ставку процента через капитал, природные ресурсы, эффективный труд и параметры модели. Затем подставьте
вместо
,
из пункта 3, и выразите ставку процента
через капиталоемкость продукции,
природные ресурсы, эффективный труд и
параметры модели. После этого, используя
результат задания 2, выразите ставку
процента на траектории сбалансированного
роста через параметры модели.
-
Сравните результаты пунктов 3, 4 и 5 и ответьте на вопрос: в случае, если запас капитала на траектории сбалансированного роста соответствуют золотому правилу, как соотносятся темпы экономического роста на траектории сбалансированного роста и реальная ставка процента? Является ли этот результат таким же, как в модели Солоу без природных ресурсов или же отличается от него?
Решение.
1.
Таким образом,
Данное выражение представляет собой линейное дифференциальное уравнение относительно капиталоемкости продукции. Его решение имеет следующий вид:
2. По мере того, как экономика стремиться к траектории сбалансированного роста, роль начальных значений сходит на нет, и первое слагаемое в полученном выражении стремиться к нулю. На траектории сбалансированного роста имеем:
3. Подставляя в производственную функцию
,
получаем:
,
откуда выражаем
.
Подставляя в это выражение уравнение,
полученное в задании 2 для
,
имеем:
.
Взяв лог-производную от этого выражения по времени, получаем темпы экономического роста на траектории сбалансированного роста:
4. Используем выражение для выпуска, полученное в предыдущем пункте задачи.
Откуда находим потребление на траектории сбалансированного роста:
.
Максимизация
по
дает такое же условие для нормы сбережений,
соответствующей золотому правилу, как
и модель Солоу без природных ресурсов:
5. Из условий максимизации прибыли фирмой:
Подставляя в это выражение
,
получаем:
Из задания 3
.
Следовательно,
Подставляя
из задания 2, получаем:
6. Если запас капитала на траектории
сбалансированного роста соответствует
золотому правилу, то из задания 4 следует
,
а из задания 5
Сравнивая это выражение с выражением, полученным в задании 3, получаем:
Таким образом, мы получаем то же условие для запаса капитала, соответствующего золотому правилу, что и в модели Солоу без природных ресурсов: реальная ставка процента равна темпам экономического роста.
Вариант 2. Рассмотрим модель Солоу с производственной функцией Кобба-Дугласа и с человеческим капиталом. Предпосылки модели задаются следующей системой уравнений:
,
,
,
,
где
- выпуск,
- капитал,
- эффективность труда,
- труд,
- эластичность выпуска по капиталу,
- темп технического прогресса,
- темп роста населения,
- норма сбережения,
- норма износа оборудования. Известно,
что
Пусть
и
- соответственно физический и человеческий
капитал в расчете на единицу эффективного
труда.
Задания.
-
Представьте производственную функцию в интенсивной форме: выразите выпуск в расчете на единицу эффективного труда через физический и человеческий капитал в расчете на единицу эффективного труда.
-
Из предпосылок уравнений получите систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно
и
. -
Выразите уравнение, определяющие пары значений
и
,
для которых
.
Зная, что
,
определите, является ли уравнение линии
выпуклым или вогнутым в координатах
(
и
).
Изобразите линию
в координатах
и
.
Пользуясь результатами задания 2,
определите, что происходит с
(растет или убывает), если экономика
находится выше линии
?
Ниже? -
Аналогично заданию 3, постройте график функции
и определите, что происходит с
,
если экономика находится выше или ниже
линии
. -
Постройте в одной плоскости линии
и
.
Покажите стрелками направления изменения
и
в каждой из четырех участков, на которые
разбивается плоскость линиями
и
.
Изобразите несколько траекторий
динамики, которые бы показывали все
качественно различные случаи динамики
системы. Является ли траектория
сбалансированного роста локально
устойчивой? -
Воспользуйтесь выражениями, задающими линии
и
,
и выведите из них логарифмы физического
и человеческого капитал на единицу
эффективного труда на траектории
сбалансированного роста (
и
)
через параметры модели. -
Используя решение предыдущего задания, выразите выпуск на единицу эффективного труда на траектории сбалансированного роста (
)
через параметры модели. -
Определите четыре следующих эластичности:
-
эластичности выпуска на единицу эффективного труда по норме сбережения в физический капитал;
-
эластичности выпуска на единицу эффективного труда по норме сбережения в человеческий капитал;
-
эластичности потребления на единицу эффективного труда по норме сбережения в физический капитал;
-
эластичности потребления на единицу эффективного труда по норме сбережения в человеческий капитал.
-
-
Определите нормы сбережений в человеческий и физический капитал, соответствующие золотому правилу.
-
Предположим, что экономика находится на траектории сбалансированного роста. Определите ставку процента и рыночную стоимость аренды единицы человеческого капитала в экономике, в которой запас капитала соответствует золотому правилу. Для этого в условия первого порядка фирм подставьте значения
и
из задания 7, в которые вместо
и
подставьте значения, найденные в задании
9. Как найденные ставка процента и
стоимость аренды капитала соотносятся
с темпами экономического роста на
траектории сбалансированного роста?
Решение.
1. Поделим производственную функцию
слева и справа на
.
Получаем:
2. По определению
,
Подставляя
,
и результат задания 1, получаем:
(*)
Аналогично выводится выражение для
:
(**)
3. Из уравнения (*), имеем, что при
,
выполняется следующее выражение:
Из условия
следует, что
.
Следовательно, линия
является выпуклой в системе координат
(k, h)
(см. рис.). Кроме того, из у
равнения
(*) мы видим, что если мы изначально
находимся на линии
,
а затем увеличивается
без изменения
,
то
становится положительным. Следовательно,
возрастает везде выше линии
и сокращается везде ниже этой линии.
4
.
Из уравнения (*), имеем, что при
,
выполняется следующее выражение:
Из условия
следует, что
.
Следовательно, линия
является вогнутой в системе координат
(k, h)
(см. рис. внизу). Кроме того, из уравнения
(**) мы видим, что если мы изначально
находимся на линии
,
а затем увеличивается
без изменения
,
то
становится положительным. Следовательно,
возрастает
везде правее линии
и сокращается везде левее.
5
.
Совмещая рисунки, полученные в предыдущих
разделах, получаем следующую фазовую
плоскость для пары
и
,
изображенную на рисунке справа. Как мы
видим из рисунка, траектория
сбалансированного роста является
локально устойчивой.
6. Из заданий 3 и 4 следует следующая система уравнений, определяющая стационарное состояние:
Прологарифмировав эти выражения,
получаем следующую линейную систему
уравнений относительно
и
:
Откуда находим:
7. Используя предыдущее задание,
8. Эластичность выпуска на единицу
эффективного труда на траектории
сбалансированного роста по норме
сбережения в физический капитал равна
производной
по
:
Аналогичным образом находим
Зная, что
,
находим эластичность
по
и
:
Аналогично
9. В точке максимума потребления
эластичности
и
должны быть равными нулю. Из предыдущего
задания мы видим, что это выполняется
в случае
и
.
10. Производя указанные операции, получаем:
Откуда
Аналогично находим
