Гипотеза

Какие возможны альтернативные гипотезы

Выпуск зависит от капитала, труда и параметра эффективности труда.

Возможно исключение или добавление каких-то факторов производства. Например, возможно добавление фактора «земля», что можно свести к случаю убывающей отдачи от масштаба.

Постоянная отдача от масштаба

Возрастающая или убывающая отдача от масштаба Примечание. Возможно задание в общем виде, либо частные случаи: производственная функция Кобба-Дугласа и производственная функция с постоянной эластичностью замещения.

Примечание. В некоторых случаях модели с непостоянной отдачей от масштаба заменой переменных можно свести к моделям с постоянной отдачей от масштаба.

Убывающая отдача от каждого из факторов

Для некоторых факторов может быть введена гипотеза постоянной или возрастающей отдачи

Примечание. Возможно задание в общем виде, либо частные случаи: производственная функция Кобба-Дугласа и производственная функция с постоянной эластичностью замещения.

Нейтральный по Харроду технический прогресс

Технический прогресс, дополняющий капитал, либо нейтральный по Хиксу, либо не нейтральный.

Примечание. В случае функции Кобба-Дугласа различные гипотезы относительно технического прогресса сводятся одна другой заменой переменных.

Постоянная норма сбережений

Норма сбережений задана как функция от эндогенных переменных

Примечание. Рассмотрите случай, когда норма сбережений является функцией а) от ставки процента (м.б. возрастающая или убывающая) б) о заработной платы (возрастающая) в) от ставки процента и заработной платы.

Постоянные темпы роста населения и параметра производительности труда

Темпы роста не постоянны, являются какой-то функцией от времени

Шаги вывода

Если мы отказываемся от каких-то предпосылок в модели Солоу

В долгосрочном периоде экономика стремиться к траектории сбалансированного роста,

ТСР может не существовать

на которой капиталовооруженность эффективного труда постоянна, обозначим её .

Даже если ТСР существует, капиталовооруженность эффективного труда может быть не постоянной на ТСР. Это происходит в моделях с возрастающей или убывающей отдачей от масштаба.

Из этого следует, что капитал растет с темпом, равным сумме темпов роста параметра производительности труда и темпов роста рабочей силы. Так какирастут с постоянными темпами, то и капитал растет с постоянным темпом, равным

Если темпы роста илине постоянны, то эти рассуждения неверны.

При этом из гипотезы постоянной отдачи от масштаба мы вывели, что производительность эффективного труда может быть записана как функция от капиталовооруженности эффективного труда, . Следовательно, на ТСР производительность эффективного трудатоже постоянна.

Если гипотеза постоянной отдачи от масштаба не выполняется, то мы не можем записать , и требуется другой подход.

Из этого следует, что выпуск растет с темпом, равным сумме темпов роста параметра производительности труда и темпов роста рабочей силы. Так какирастут с постоянными темпами, то и выпуск растет с постоянным темпом, равным

Если темпы роста илине постоянны, то эти рассуждения неверны.

Таким образом, на ТСР выпуск и капитал растут с темпами , а труд с темпом, что соответствует первым двум фактам Калдора.

Шаги вывода

Если мы отказываемся от каких-то предпосылок в модели Солоу

В долгосрочном периоде экономика стремиться к траектории сбалансированного роста,

ТСР может не существовать

на которой капиталовооруженность эффективного труда постоянна, обозначим её .

Даже если ТСР существует, капиталовооруженность эффективного труда может быть не постоянной на ТСР. Это происходит в моделях с возрастающей или убывающей отдачей от масштаба.

Из задачи максимизации прибыли фирмой

Это следует из гипотезы совершенной конкуренции. В случае несовершенной конкуренции (не важно, на рынке конечной продукции или на рынке капитала) предельная производительность капитала будет больше ставки процента. Например, если обратная эластичность спроса на продукцию одной фирмы задана параметром где (), то условие первого порядка записывается как.

Нужно уметь решать задачу максимизации прибыли для нестандартных случаев.

По теореме Эйлера

Этот результат выводится из гипотезы постоянной отдачи от масштаба. Если мы отходим от гипотезы постоянной отдачи от масштаба, это не выполняется.

Следовательно, на ТСР

Шаги вывода

Если мы отказываемся от каких-то предпосылок в модели Солоу

В долгосрочном периоде экономика стремиться к траектории сбалансированного роста,

ТСР может не существовать

на которой капиталовооруженность эффективного труда постоянна, обозначим её .

Даже если ТСР существует, капиталовооруженность эффективного труда может быть не постоянной на ТСР. Это происходит в моделях с возрастающей или убывающей отдачей от масштаба.

Из гипотезы совершенной конкуренции и постоянной отдачи от масштаба, по теореме Эйлера следует, что

Если мы отходим от гипотезы совершенной конкуренции или постоянной отдачи от масштаба, то это не верно, требуется другой подход.

На ТСР , следовательно, заработная плата растет с темпом технического прогресса.

Шаги вывода

Если мы отказываемся от каких-то предпосылок в модели Солоу

В долгосрочном периоде экономика стремиться к траектории сбалансированного роста,

ТСР может не существовать

на которой капиталовооруженность эффективного труда постоянна, обозначим её .

Даже если ТСР существует, капиталовооруженность эффективного труда может быть не постоянной на ТСР. Это происходит в моделях с возрастающей или убывающей отдачей от масштаба.

Из задачи максимизации прибыли фирмой

Это следует из гипотезы совершенной конкуренции. Нужно уметь решать задачу максимизации прибыли для нестандартных случаев.

По теореме Эйлера

Этот результат выводится из гипотезы постоянной отдачи от масштаба. Если мы отходим от гипотезы постоянной отдачи от масштаба, это не выполняется.

Доля дохода капитала в общем доходе

Поделив числитель и знаменатель на AL, и подставив предыдущие результаты, получаем

Следовательно, на ТСР доля дохода капитала в общем доходе постоянна

Из гипотезы совершенной конкуренции и постоянной отдачи от масштаба, по теореме Эйлера следует, что сумма долей доходов труда и капитала равна единице, следовательно

Если мы отходим от гипотезы совершенной конкуренции или постоянной отдачи от масштаба, то это не верно, требуется другой подход.

Откуда следует, что на ТСР доля дохода труда постоянна

Шаги вывода

Если мы отказываемся от каких-то предпосылок в модели Солоу

Это гипотеза модели

Можно рассмотреть случаи, когда норма сбережений задается как функция от ставки процента и заработной платы.

Ответ

Критерий оценки

Факт Калдора: Выпуск, капитал и труд растут приблизительно с постоянными темпами

+1 балл

Факт Калдора: Темпы роста выпуска и капитала приблизительно совпадают

+0,5 балла

и превышают темпы роста рабочей силы.

+0,5 балла

В модели Солоу выпуск и капитал на траектории сбалансированного роста растут с темпом, равным сумме темпов технического прогресса и темпов роста населения

+0,5 балла

+0,5 балла

На траектории сбалансированного роста , следовательно, капитал растет с темпом

+0,5 балла

Выпуск на единицу эффективного труда является функцией только от капиталовооруженности эффективного труда,. На траектории сбалансированного роста, следовательно,. Из этого следует, что на траектории сбалансированного роста выпускрастет с темпом

+0,5 балла

Постоянство темпа прироста труда и темпа технического прогресса является гипотезой модели.

+0,5 балла

Таким образом, в модели Солоу на ТСР выпуск растет с темпом , капитал с темпом, а население – с темпом, что соответствует фактам Калдора.

+0,5 балла

Ответ

Критерий оценки

Факт Калдора: Ставка процента приблизительно постоянна

+1 балл

Из задачи максимизации прибыли

+1 балл

По теореме Эйлера, .

+1 балл

Следовательно, в модели Солоу:

+1 балл

Таким образом, ставка процента является функцией от капиталовооруженности эффективного труда.

+0,5 балла

На траектории сбалансированного роста капиталовооруженность эффективного труда является постоянной, следовательно, ставка процента доходе также постоянна.

+0,5 балла

Ответ

Критерий оценки

Факт Калдора: Заработная плата растет приблизительно с постоянным темпом

+1 балл

По теореме Эйлера,

+1 балл

Из свойства однородности производственной функции следует

+0,5 балла

По теореме Эйлера

+0,5 балла

Следовательно, исходное условие может быть переписано в виде

Откуда

+1 балл

На траектории сбалансированного роста значение является постоянным, следовательно, выражение в квадратных скобках также остается постоянным.

+0,5 балла

Из этого следует, что на траектории сбалансированного роста заработная плата растет с темпом роста , т.е. с темпом технического прогресса.

+0,5 балла

Ответ

Критерий оценки

Факт Калдора: Доли доходов труда и капитала в общем доходе приблизительно постоянны.

+1 балл

Из задачи максимизации прибыли

+1 балл

По теореме Эйлера, .

+0,5 балл

Следовательно, в модели Солоу:

+0,5 балл

Доля дохода капитала =

+0,5 балла

Таким образом, доля дохода капитала является функцией от капиталовооруженности эффективного труда.

0 баллов,

+0,5 балла если нет пред. ответа

На траектории сбалансированного роста капиталовооруженность эффективного труда является постоянной, следовательно, доля дохода капитала в общем доходе также постоянна.

+0,5 балла

По теореме Эйлера, в условиях совершенной конкуренции и постоянной отдачи от масштаба доля дохода труда и доля дохода капитала в сумме дают единицу.

+1 балл

Следовательно, если доля дохода капитала в общем доходе постоянна, то доля дохода труда в общем доходе также постоянна.

+0,5 балла

№

Ответ

Критерий

1

Гипотезы модели формально записываются следующим образом:

(1)

(2)

1 балл

2

По условию задания, ,, при этом может бытьили.

1 балл

Докажем, что экономика стремиться к траектории сбалансированного роста

3

Темп роста капитала задается следующим уравнением:

(3)

1 балл

4

Откуда находим

(4)

1 балл

5

Фазовая диаграмма для представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз:

Макс. 3 балла, минус один балл за каждый недочет.

Как видим из фазовой диаграммы, система имеет две точки равновесия

6

Первая точка

0,5 балла

7

является точкой неустойчивого равновесия

0,5 балла

8

Вторая точка

0,5 балла

9

является точкой устойчивого равновесия

0,5 балла

10

Таким образом, если в экономике наблюдаются положительные темпы роста, то рано или поздно она стремиться к траектории сбалансированного роста, на которой капитал растет с темпом

0 баллов, (1 балл если нет ответов 6,7,8,9)

11

На траектории сбалансированного роста выпуск растет с темпом

1 балл

Таким образом, выполняются следующие факты Калдора:

12

- Выпуск, капитал и труд растут приблизительно с равными темпами,

1 балл

13

- Темпы роста выпуска и капитала приблизительно совпадают и больше, чем темпы роста труда

1 балл

14

Из максимизации прибыли следует, что ставка процента плюс норма амортизации равна предельной производительности капитала с поправкой на монопольную власть фирмы. Подставляя это в условие (1), получаем:

1 балл

15

Как мы только что показали, на траектории сбалансированного роста выпуск и капитал растут с равными темпами, следовательно, выполняется факт Калдора о постоянной ставке процента

1 балл

16

Доли доходов труда и капитала в общем доходе составляют соответственно и.

1 балл

17

Таким образом, выполняется факт о постоянных долях дохода труда и капитала в общем доходе.

1 балл

18

Заработная плата равна предельной производительности труда с поправкой на монопольную власть фирмы:

, откуда

2 балла

19

Следовательно, по-прежнему выполняется факт Калдора о постоянстве роста заработной платы.

1 балл

20

Постоянство нормы сбережений остается гипотезой модели, соответственно, выполняется последний факт Калдора.

1 балл