§3. Целевое программирование

Паретовская идея построения решений, неулучшаемых одновременно по всем заданным показателям, логически безупречна. Однако таких неулучшаемых решений бывает, как правило, много, и проблема выбора какого-то одного из них все равно остается. Предложено большое число способов разрешения этой проблемы. Они базируются на довольно убедительных с первого взгляда посылках о предпочтениях людей, принимающих решения. Но само обилие идейно различных подходов свидетельствует об их аксиоматической уязвимости.

3.1. Идея целевого программирования. Одна из распространенных групп методов, получивших названиецелевое программирование, состоит в поиске допустимого решения, наиболее близкого в каком-то смысле к желаемому множеству, задаваемому в пространстве критериев

. (11)

Целевое множество обычно формируется экспертно: хотелось бы, чтобы прибыль была не меньше чего-то, а загрязнение окружающей среды не выше чего-то и т.д. Как правило, все эти цели одновременно недостижимы на допустимых решениях, и тогда целевое множество называютутопическим.

Решение задач типа (11) зависит не только от целевого множества, но и от конкретизации понятия расстояния между точками критериального пространства. Для разных расстояний, как будет видно из последующих примеров, получаются различные решения. Так что словесно привлекательная общая формулировка задач целевого программирования содержит скрытый произвол, трудно интерпретируемый в прикладных терминах.

Но отмеченный недостаток может обернуться и достоинством: имеющуюся свободу в выборе расстояния можно использовать для подстройки к индивидуальным предпочтениям лица, принимающего решения. Конечно, при этом бессмысленно задавать предпринимателю прямой вопрос: «Какой способ измерения расстояний Вы предпочитаете?» Вместо этого следует набрать статистику попарных сравнений конкретных точек с ответами: лучше, хуже, эквивалентны, и уже обработкой статистики извлечь наиболее подходящую функцию.

Еще одна привлекательная черта целевого программирования состоит в том, что его можно использовать как средство борьбы с возможной пустотой множества допустимых решений. Напомним, что согласно (40) – (42) из темы1 множество допустимости формируется как ресурсными, так и целевыми ограничениями. По этой причине при слишком амбициозных целях множество допустимости Xоказывается пустым, и любые задачи на нем теряют смысл.

В таком случае нужно вывести из определения Xвсе целевые ограничения (40) в теме 1 или только «наиболее трудные», так чтобы новое, расширенное, множество допустимостиоказалось непустым. Исключенные изXцелевые ограничения следует использовать для формирования действительно утопического целевого множестваи отыскивать нарешения, наиболее близкие к.

Отметим, что при постановке и решении задач целевого программирования (11) не требуется знания множества парето-оптимальных решений (3). Будут ли решенияпарето-оптимальными или нет, зависит от сформированного при постановке (11) целевого множества.

Если окажется, что , то это – дефект задания, так как полученные из (11) решения можно тогда улучшить хотя бы по одному критерию без проигрыша в остальных. Необходимым (но не достаточным) условием естественной ситуациибудет, если можно так назвать, ослабленная утопичность целевого множества. Под этим понимается, что множествоне достижимо ни одной допустимой точкой, за исключением, быть может, парето-эффективных точек (3), т.е., гдеY– образ (1) множества достижимостиXв критериальном пространстве, а– его паретовская граница (2).

Высказанное утверждение иллюстрируется рис. 9.

Утверждение предлагается доказать самостоятельно. Желательно также построить графический пример, подобный рис.9, свидетельствующий о недостаточности условия ослабленной утопичности.

3.2. Метод идеальной точки. Этот метод трактуется здесь как один из вариантов целевого программирования с полностью формализованным способом назначения целевого множества.

Если все критерии желательно увеличивать, то в качестве цели выбирается единственная точка в критериальном пространстве с координатами, равными независимо отыскиваемым точным верхним граням соответствующего критерия

, (12 а)

т.е. нужно решить mнезависимых задач однокритериальной оптимизации. Так, для линейного примера (8) с достижимыми поодиночке верхними гранями получается

(12 б)

В примере оба этих максимума, как видно из рис.8 одновременно не реализуются ни в одной из допустимых точек . И это – правило, а не исключение для многокритериальных задач. В противном случае паретовское множество в критериальном пространстве состоит только из одной точки(доказать), поэтому надобность в дальнейшем отборе пропадает.

В общем случае задание целевого множества в виде (12а) при любой конкретизации понятия расстояния обеспечивает парето-эффективность решений задачи (11), что предлагается доказать самостоятельно.

Способ измерения расстояния в критериальном пространстве выбирается одним из следующих:

. (13)

Все они удовлетворяют аксиомам расстояния и в конечномерных пространствах топологически неразличимы (т.е. множество, оказавшееся ограниченным и замкнутым по одному расстоянию, остается таковым и по другому способу измерения расстояния).

Однако вид поверхностей равноудаленности получается для разных способов из (13) различным (рис.10), и вследствие этого различными будут и решения, выделяемые из множества парето-эффективности.

Расстояние называют архимедовым (рис.10а), а– евклидовым (рис. 10б). Как можно догадаться из серии рис.10, расстояниепредставляет собой предел расстоянийпри.

В экономике наибольшее распространение получило архимедово расстояние, благодаря естественной его трактовке как отклонения, осредненного по всем координатам (если разделить наm).

В формулах (13) могут быть еще предусмотрены весовые коэффициенты , например

. (14)

Это нужно делать обязательно, когда критерии имеют несовпадающие размерности: – прибыль в рублях, а– вредные выбросы в килограммах и т.п. Естественный выход состоит здесь в переходе к относительным отклонениям, исчисляемым в долях от максимума соответствующего критерия, т.е., если. Однако могут употребляться и другие, неформальные, приемы назначения, учитывающие различную важность критериев для лица, принимающего решения. Весовые коэффициенты деформируют линии равноудаленности, растягивая их в направлении менее важных критериев и сжимая в направлении более важных.

После всех указанных выше подготовительных этапов формируется окончательная задача о поиске допустимой точки , ближайшей к идеальному решению

,

. (15)

Это задача однокритериальной оптимизации, представляющая собой частный случай задачи целевого программирования (11). В расшифровках (13), (14) функции для (15) знак модуля можно не писать согласно определению идеальной точки.

Для разных численных значений коэффициентов важности в формуле расстояния (14) до идеальной точки получаются различные решения задачи (15). Продемонстрируем это на двухкритериальном примере (8) – (10) «прибыль – загрязнение», решив его геометрически.

На рис.11 представлен фрагмент множества достижимостина критериальной плоскостис паретовской границей (10), где только и могут располагаться решения задачи (15). Светлой точкой показано идеальное решение (12б). Штрихами нанесены линии равноудаленности от идеала по расстоянию (14). Решение находится по обычным правилам как достижимая точка с минимально возможным значением константына линии уровня, через нее проходящей. Решение выделено жирной точкой или жирным отрезком в случае неединственности.

Когда больший вес придается прибыли, то ближайшей к идеалу оказывается вершина- рис.11,а.

Она обеспечивает абсолютный максимум прибыли: , как в идеальной точке, и умеренное загрязнение:, большее идеального:.

Обратный приоритет сдвигает решение в другую вершину, где достигается абсолютный минимум загрязнения, но за счет снижения прибыли (рис.11,б).

Наконец, равные приоритеты дают в качестве решения всю паретову границу , не выделяя из нее конкретных точек (рис.11, в) .

Если теперь сменить расстояние наили нас весовыми коэффициентами:

то неединственность решения исчезнет, но все равно при изменении параметров ионо пробежит почти всю паретову границу. Это иллюстрирует рис.12.

Когда в исходной многокритериальной задаче все максимизируемые критерии определены в виде линейных функций от, т.е.

,

то архимедово расстояние (14) до идеальной точки (12а) тоже оказывается линейной функцией

,

где ,.

В результате минимизация при линейных ограниченияхэквивалентна максимизацииhс теми же ограничениями

(16а)

причем координаты идеальной точки потребуются лишь для досчета исходного расстояния.

Так, в примере (8) с идеальным решением (12 б) получается следующая задача линейного программирования на плоскости управлений :

:

. (16 б)

При различных значениях параметров с естественной нормировкойее решение будет давать либо вершиныили, либо ребро, т.е. все парето-эффективное множество, как это было продемонстрировано на рис.11 в плоскости критериев.

Читателю предлагается убедиться в сказанном, решив параметрическую задачу линейного программирования (16 б).

3. Общая задача линейного целевого программирования. В предыдущем п.3.2 целевое множество задавалось в виде одной желаемой точки критериального пространства. Здесь возможности оперирования с целями расширяются: их разрешается задавать посредством системы линейных равенств и неравенств, которой удовлетворяет не обязательно единственная точка

, (17)

где Dиl– фиксированные матрица и вектор согласованных размеров, а знак неравенства написан для единообразия, что не противоречит наличию равенств.

Множество допустимости Xв пространстве управленийформируется тоже линейными ограничениями

(18)

(противоположный по сравнению с (17) знак неравенства не несет смысловой нагрузки, поскольку знаки элементов матриц D, Aи компонент векторовl, bне оговорены).

Линейными предполагаются и выражения критериев через управления

, (5.19)

где C– фиксированная матрица сmстроками иnстолбцами (ее элементы – это, как правило, цены и другие удельные характеристики).

Из всех видов расстояний (13) в критериальном пространстве выбирается сначала архимедово (14).

По сравнению с методом идеальной точки здесь для более общего целевого множества (17) уже нельзя утверждать, что ,. Теперь компоненты вектора разности могут быть и положительными (недостатки), и отрицательными (избытки). Чтобы выйти из этого затруднительного положения, вводятся неотрицательные вспомогательные переменныевместо координат вектора:

. (20)

Положительные компоненты вектора vозначают недовыполнение цели, а положительные компоненты вектораw– ее перевыполнение. Одновременно одна и та же цель не может быть недовыполнена и перевыполнена, поэтому,. Но такое условие уже не линейное, поэтому оно не включается в (20). Как будет показано ниже, оно выполнится автоматически в результате минимизации расстояния (14), для которого в новых переменных справедливо неравенство

, (21)

где – это вектор-строка коэффициентов важности критериев, атрактуется как вектор-столбец с компонентами, причем равенство в (21) достигается, если.

Последовательный минимум по и поxв общей постановке (5.11) задачи целевого программирования всегда может быть заменен на одновременный, поэтому с учетом (21)

(22)

.

Остается установить, что на решении завершающей задачи из (22)

(23)

выполняются равенства .

Если предположить противное, т.е. что и, то вместо этихнужно взять уменьшенные. Остальные компоненты решенияможно сохранить. Такое составное решениебудет допустимым для всех ограничений из (23), но в силуна нем окажется, что противоречит исходной посылке о достижении минимума функцииhна.

Таким образом, задача целевого программирования (11) с линейными связями и ограничениями (17) – (19) и архимедовым расстоянием (14) оказалась сведенной к обычной задаче линейного программирования (23).

Замечание. Число вспомогательных переменных v и w в задаче (23) можно сократить, если до ее решения удается установить знакоопределенность каких-либо разностей . Если окажется что, нужно сразу положить; если же, тогда.

В общем случае и с расстоянием при линейных критерияхи ограниченияхудается свести задачу (15) к задаче линейного программирования за счет введения дополнительных линейных ограниченийи дополнительной переменнойкоторую и нужно минимизировать пои. Эту результирующую задачу линейного программирования предлагается выписать самостоятельно в координатной и векторно-матричной формах.

Упражнения

Задача 1. Пользуясь определением, выделить Парето-эффективное подмножество решений из конечного множества допустимых решений, каждое из которых оценивается по трем максимизируемым показателям:

а) ,,;

б) ,,,.

Ответ: а) ;

б) .

Задача 2. Посредством решения параметрических задач однокритериальной оптимизации построить и нарисовать Парето-эффективные множества в пространстве критериевив пространстве решений, если множество допустимых решений – квадрат, а максимизируемые критерии задаются следующими функциями:

а) ,;

б) ,.

Ответ: а) ,

б) ,

Задача 3. В условиях задачи 3 геометрически построить множества слабой эффективности и(по Слейтеру).

Задача 4. Пусть множество достижимости Yв критериальном пространствеyзамкнуто и ограничено. Доказать, что

, где

–Парето-эффективное множество, – любая из максимизируемых компонентy.

Задача 5.

Путем максимизации функции – параметр, выделить Парето-эффективную границувыпуклого ограничения и замкнутого множества достижимости в критериальном пространстве

.

Ответ: по методу Лагранжа ,,,,.

Задача 6. (В.В. Подиновский)

Множество достижимых векторных оценок Yизображено на Рис.511.

1. Выделить множество Парето-оптимальных оценок .

   1. Найти, при каких значенияхмаксимизация свертки, гдепозволяет выделить вершины и звенья из.

Задача 7. (В.В. Подиновский)

Множество допустимых плановXизображено на рис. (N+1),,. Цели:,. Расстояние определяется формулой:

.

1. Записать задачу целевого программирования в виде задачи линейного программирования.

2. Построить графики множества достижимых векторных оценок Yи утопического целевого множестваU.

3. Графически решить задачу целевого программирования.