25

Тема 6

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

Многокритериальность и недоминируемые, или эффективные, решения: допустимые решения и критерии; эффективные решения по Парето и Слейтеру; примеры – распределение бюджета, покупка автомобиля; игровая трактовка, сравнение с равновесием по Нэшу; трансформация эффективностей при расширении набора критериев.

Выделение эффективных решений посредством однокритериальной оптимизации: универсальный способ; специализированный способ для выпуклых критериальных множеств; эффективные решения в линейных задачах, пример.

Целевое программирование: идея; метод идеальной точки; общая задача линейного целевого программирования; пример решения.

§1. Многокритериальность и недоминируемые, или эффективные, решения

Самым серьезным людям, принимающим решения, свойственно наивное желание достичь сразу многого по многим показателям: «быть богатым и здоровым». Но это, как правило, невыполнимо.

В однокритериальной оптимизации, изучаемой в предыдущих темах, предлагался следующий разумный способ разрешения этой коллизии. Из всего множества показателей, характеризующих различные аспекты принимаемых решений (материальный, финансовый, социальный, экологический и тому подобные), выделяется один показатель, например прибыль, который максимизируется. Остальные показатели ограничиваются сверху или снизу в зависимости от их смысла некоторыми желаемыми уровнями. Например, вредные выбросы в атмосферу не должны превышать такой-то границы.

Однако не для всех показателей удается назначить априори четкие количественные границы их приемлемых значений. И тогда приходится прибегать к неформальному анализу множества решений, неулучшаемых одновременно по всем показателям.

Математические методы построения таких множеств и составляют содержание теории, получившей название многокритериальной, или векторной, оптимизации.

1.1. Допустимые решения и критерии:

–допустимые решения = управления = инструментальные переменные, удовлетворяющие всем ресурсным ограничениям и тем из целевых, для которых удалось назначить точные желаемые уровни (например, – объемы производства продуктов, допустимые по мощностям и обеспечивающие выполнение поступивших заказов);

, , – критерии, характеризующие качество управления, но для которых не сложились точные желаемые уровни, где– скалярные функции или функционалы, определенные наХ, аJ – множество наименований критериев (например,J = {выбросы в атмосферу(j=1),прибыль(j=2), …});

Y– множество достижимости в критериальном пространствеy, т.е. образ множестваXдопустимых решений, задаваемый однозначным соответствием – отображениемf:

, (1)

при этом обратное соответствие не обязательно однозначно (см. рис.1), т.е. несовпадающие решения могут иметь одинаковую оценку качества.

Пример – «прибыль – загрязнение». Предприятие выпускает два вида продуктов в объемах . Первый продукт – адсорбирующий, при его производстве поглощаются вредные отходы, образующиеся при выпуске второго, загрязняющего, продукта. Уровень загрязнения окружающей среды определяется разностью в объемах их производства, а прибыль – суммой(все – в безразмерных переменных). Руководство предприятия при планировании выпусков продуктов стремится уменьшить загрязнение и, вместе с тем, увеличить прибыль.

Чтобы привести оба критерия к стандартной схеме максимизации, у первого из них нужно изменить знак, так что

()

Это и есть пример аналитической записи общего отображения (1).

Множество допустимых управленийзадается ограничениями по производственным мощностям и условиями неотрицательности выпусков

Первая мощность, составляющая 8 безразмерных единиц, используется для производства обоих продуктов. Две другие, в 7 и 6 единиц, специализированы по продуктам. Рынки сырья и готовой продукции считаются неограниченно емкими, ограничение по трудовым ресурсам даже при полной загрузке производственных мощностей предполагается выполненным.

Преобразование () пространства управлений в пространство критериев – линейное и взаимно однозначное. Обратное преобразование находится разрешением системы линейных равенств () относительно и :

.

Его подстановка в неравенства, задающие множество допустимости , определяет множество достижимости в критериальном пространстве

Графическая иллюстрация этих преобразований будет приведена дальше, в п.2.2. на рис.8, где излагается сведéние линейной проблемы многокритериальной оптимизации к обычной задаче линейного программирования.

2. Недоминируемые, или эффективные, решения. Хотелось бы значения всех критериевиметь побольше (для определенности). Но это, как правило, невозможно (редкое вырожденное исключение – все критерии являются монотонно возрастающими или неубывающими функциями какого-то одного критерия). Тогда ищут такие допустимые решения, которые нельзя было бы улучшить одновременно по всем показателям. Их и называют недоминируемыми.

Определение1° множестваY°недоминируемых, или эффективных, точекy° в пространстве критериев может быть дано в терминах пересечения множеств:

Y = Ø}, (2)

где– множество доминирования по Парето:

()

или Слейтеру:

. ()

Геометрическое прочтение паретовской эффективности (2), () таково (рис.2). Если поместить в эффективную точкуy° вершину неотрицательного ортанта(y°), то в нем не должно оказаться достижимых точек, отличных отy°. Для проверки определения слейтеровской эффективности (2), () используется строго положительный ортант(y°). А это означает, что эффективными по Слейтеру будут и вертикальные, и горизонтальные участки границ множества достижимости(рис.3б), не принадлежащие парето-эффективному множеству (рис.3а).

Парето-эффективные точки называют еще сильно эффективными, илипарето-оптимальными, а эффективные по Слейтеру точки –слабо эффективными.

Дальше речь будет идти в основном о сильной эффективности, так как цель всех построений состоит в уменьшении числа решений, предъявляемых для окончательного выбора, а слабо эффективных точек не меньше, чем сильно эффективных, точнее (доказать). К тому же, те из слабо эффективных точек, которые не являются сильно эффективными, можно улучшить хотя бы по одному из критериев, не ухудшая остальных (доказать). Так что в дальнейшем под эффективными решениями будут подразумеваться только сильно эффективные, если не придется одновременно говорить и о сильной, и о слабой эффективности.

Множество Y°называется ещеэффективной границеймножестваY(по Парето или Слейтеру), так как внутренние точки множестваYне могут принадлежатьY° (доказать).

Однако это, вообще говоря, не означает, что прообразы из пространства решений окажутся на границе допустимого множества, что демонстрирует следующий однокритериальный пример:

Определение2º множестваXºэффективных решенийxº:

, (3)

т.е. любое допустимое решение х, отличное по критериям отxº(в том числе и другие эффективные) проигрывает выделенному эффективному решениюxºхотя бы по одному критерию.

Если какой-то критерий желательно минимизировать, а не максимизировать, то у этой компоненты вектора критериев в определениях 1° и 2° нужно изменить знак неравенства, либо сразу заменитьна.

Определение 2ºзаписано в позитивном смысле. Оно эквивалентно обычному словесному определению: эффективным называется такое допустимое решениеxº, для которого нет более предпочтительных других допустимых решений.

В случае одного критерия запись (3) эквивалентна определению максимума скалярной функции.

Проблема существования эффективных решений не отличается от проблемы существования оптимальных однокритериальных решений (§1 темы 2). Это станет ясно после прочтения следующего параграфа, где задача построения эффективных решений будет сведена к параметрической задаче однокритериальной оптимизации.

1.3. Пример – распределение бюджета между двумя статьями расходов: – на социальные нужды,– на оборону (в долях от имеющейся суммы средств). Множество допустимых решений:

.

Критерии: ,.

Эффективные решения (рис. 4):

.

Здесь множества сильно эффективных и слабо эффективных решений, в отличие от рис.3, совпадают.

1.4. Пример - покупка автомобиля. Нужно произвести выбор из конечного числа экземпляров фиксированной модели, отличающихся экспертными оценками качества агрегатов (табл.1).

Табл. 1

Экземпляр х
Качество двигателя	4	3	5	5
Качество трансмиссии	5	2	4	4
Качество тормозов	3	3	4	4

В конечном множестве решенийХ эффективные варианты находятся перебором всевозможных попарных сравнений: , так как ,.. . Читается: «1-й экземпляр лучше 2-го, или предпочтительнее»; другое обозначение Р.Экземпляры и несравнимы, и тоже несравнимы. Экземпляры , , а ~ эквивалентны (другое обозначение: I ), поэтому

X°={,,}.

Отношения между конечным числом вариантов удобно изображать в виде графа (рис.5).

Замечание. При выделении эффективных решений xº из конечного множества Х удобно пользоваться определением (3), разыскивая у всех сравниваемых с ним вариантов один проигрывающий критерий. Обнаруженные на каком-то этапе доминируемые и эквивалентные решения из последующих сравнений можно исключать.

1.5. Игровая трактовка, сравнение с равновесием по Нэшу. Проблеме принятия решений по многим критериям можно дать еще игровую трактовку. Пусть участники игры производят свои выборы сразу в критериальном пространстве, зная множество достижимости. Каждый-й участник распоряжается одной компонентой критерия, а его функция полезности, которую он стремится максимизировать, - тот же критерий, т.е..

Например, участниками могут быть отделы фирмы, ответственные за разные аспекты ее деятельности: материально-технический, финансовый. Социальный. Их взаимодействие предлагается моделировать как описанную выше игру с непротивоположными интересами.

Получившаяся игра не типична для классической теории. Там значения функции полезности каждого участника зависят не только от его выбора. Но и от действий всех остальных. Здесь же функция полезности на выборы окружения явно не реагирует, а конфликт определяется наличием общего ограничения на выборы всех участников . Таким образом, это – вырожденный случай игры с запрещенными ситуациями.

Если бы ограничения на выборы участников были независимыми. Т.е. , то никакой коллизии интересов не было бы. Каждый участник независимо от других мог бы выбрать максимальную величину своего критерия, и все были бы довольны. Однако строение множества допустимых выборовв виде прямого произведения однокомпонентных множествне характерно для многокритериальных пространств. Это как раз нетипичный случай, когда можно быть «и богатым, и здоровым».

В общем случае даже «прямоугольно» устроенное множество допустимых управлений«перекашивается» при переходе в пространство критериев. В результате множество достижимости, на котором разворачивается игра, как правило, оказывается таким, что увеличение значений одного критерия требует уменьшения значений других.

Идея паретовской эффективности, развитая в п.1.2 с позиций одного лица, делающего выбор в пространстве управлений по векторному критерию, представляется привлекательной и для игровой трактовки со многими участниками, каждый из которых выбирает значение одной компонентывектора. В самом деле, паретовская точкадолжна устроить все стороны. Ведь находясь в паретовской точке, каждый участник знает. Что он не может увеличить свою полезность, не ущемляя интересов других. Последнее для него неприемлемо, если и не по морально-этическим соображениям, то из боязни нарушить игровое равновесие.

К сожалению, паретовских точек, как правило, много, и они существенно отличаются величинами критериев для разных участников. Так, в примере о распределении бюджета из п.1.3 в паретовской точке военное ведомство получает все, а социальное – ничего, в точке (1; 0) – наоборот. А в промежуточных точках паретовской границымогут быть любые распределения фиксированной общей суммы.

В случае неединственности паретовских точек трудно предложить универсальный механизм выбора единственного решения, устраивающего всех участников. Здесь потребуются неформальные переговоры между ними.

Чтобы обеспечить возможность независимых действий участникам игрового конфликта, можно попытаться использовать другой способ выбора – равновесие по Нэшу, тоже словесно привлекательный. Сторонам предлагается найти такую точку, чтобы ни одной из них не было бы выгодно мкнять свой выбор при условии, что остальные оставляют их решения неизменными.

Это общее определение множества точек, равновесных по Нэшу, для рассматриваемой игры трансформируется в следующее:

,

т.е. по каждой координате при фиксированных остальных координатах, в точкедолжен достигаться максимум критерия.

Чтобы найти нэшевское равновесие, нужно построить максимизирующие стратегии каждого участника

определяющие наилучший его ответ на всевозможные выборы остальных сторон, если бы выборы оказались ему известными.

Затем нужно найти общую точку графиков миаксимизирующих стратегий, т.е. решить систему уравнений

Корни этой системы и будут паретовскими точками , поскольку в них достигается максимум каждой координаты при ее допустимых смещениях, как того и требует определение.

Аналогичную процедуру приходилось проделывать для построения седловых точек в § темы 3, ибо паретовские точки можно рассматривать как обобщение седловых на игры с непротивоположными интересами.

Если каждый участник хочет действовать независимо, то ему предстоит проделать эти громоздкие построения за всех самому. Однако итог такой большой работы часто оказывается неутешительным: нэшевская точка оказывается неединственной, и тогда идея индивидуализации процедуры принятия решений рушится. Здесь, как и для реализации паретовской эффективности, опять потребуются переговоры сторон об отборе единственной точки и о построении механизма. Обеспечивающего соблюдения достигнутого соглашения.

Каких же точек больше, нэшевских или паретовских, и как они соотносятся друг к другу?

Согласно определению (2), () парето-эффективной точкилюбые смещения из нее в неотрицательный ортантс вершиной вдолжны выводить за пределы множества достижимости.

Определение же нэшевского равновесия говорит о невозможности смещения только по координатным осям этого ортанта. Следовательно, любая парето-эффективная точка будет равновесной по Нэшу: .

Читателю предлагается самостоятельно проверить, что в примере из п.1.3 , а в примере из п.1.4

Еще более наглядную возможность строгого включения доставляет вырожденный формальный примерЗдесь, а

Таким образом, нэшевских точек не меньше. Чем паретовских, и смена принципа принятия решений не помогла в достижении возможности индивидуальных действий участников игры.