МОРы хсехелп / Решение задачи на динамическое прогр

3

4. Задача о распределении капитала

Динамика фирмы описывается моделью (в безразмерных переменных)

K_t+1 =K_t + (1 – u_t) δ K_t , K₀=1,

C_t+1 = C_t + u_t δ K_t , C₀=0,

где t = 0,1,2,…, T-1. В этой модели T=4,

K_t – стоимость основных фондов к началу периода [t, t+1];

C_t – суммарные дивиденды с момента 0 до начала периода [t, t+1];

u_t – доля дивидендов в период [t, t+1] в прибыли фирмы, которая считается равной δK_t, где δ = 0,4 – заданный постоянный параметр.

Величина u_t является управлением в модели, причем 0 ≤ u_t ≤ 1, t=0,1,2,…,T-1.

Пользуясь методом динамического программирования, построить оптимальное управление, максимизирующее суммарные дивиденды за весь период времени [0, T], то есть С_T.

Решение

Здесь – дивиденды, получаемые на шаге , .

Составим функцию Беллмана:

Система уравнений Беллмана примет вид:

, , где K_t+1 =K_t + (1 – u_t) δ K_t , K₀=1.

При будем иметь

, , где ,

Решая эту систему, получим

при ;

Таким образом, оптимальным решением будет , т.е. на шаге 0 всю прибыль вкладывать в развитие производства, а на остальных шагах – пускать на дивиденды. Максимальные суммарные дивиденды при этом составят 1,68 единиц.

Проверка:

	0	1	2	3	Суммарные дивиденды
	0	1	1	1
	1	1,4	1,4	1,4
	0	0,56	0,56	0,56	1,68

4. Задача распределения инвестиций

Финансово-промышленная группа выделяет 4 миллиона рублей для инвестирования трех предприятий. Ожидается, что на i-м предприятии инвестированные средства х_i принесут прибыль в размере F_i(х_i) миллионов рублей, i=1,2,3. Предполагается, что сумма денег, вложенных в одно предприятие, может принимать только целочисленные значения, т.е. .

Определить максимальную суммарную прибыль F и оптимальное распределение инвестиций между предприятиями. Решить задачу методом динамического программирования.

X	F1	F2	F3
0	0	0	0
1	0,5	0,6	0,8
2	1	1,1	1,2
3	1,5	1,5	1,3
4	2	1,7	1,5

Решение

Данная задача, вообще говоря, не является динамической, поскольку решение об инвестировании не связано с временными рамками и может быть принято одновременно по всем трем предприятиям. Однако ее можно представить как задачу динамического программирования, предположив, что инвестирование ведется последовательно: сначала инвестируется первое предприятие, затем (из оставшихся средств) – второе, затем – третье.

Обозначим через количество средств, направляемых на инвестирование предприятия .

По условиям задачи и исходя из физического смысла переменных

Функция перехода из -го состояния в -е состояние имеет вид: .

Целевая функция .

Функция Беллмана: , , .

Система уравнений Беллмана:

.

Решаем систему:

1	0	0	0	0	0	0
	1	0	1	0	0,8	0,8
		1	0	0,6	0	0,6
	2	0	2	0	1,2	1,2
		1	1	0,6	0,8	1,4
		2	0	1,1	0	1,1
	3	0	3	0	1,3	1,3
		1	2	0,6	1,2	1,8
		2	1	1,1	0,8	1,9
		3	0	1,5	0	1,5
	4	0	4	0	1,5	1,5
		1	3	0,6	1,3	1,9
		2	2	1,1	1,2	2,3
		3	1	1,5	0,8	2,3
		4	0	1,7	0	1,7
0	4	0	4	0	2,3	2,3
		1	3	0,5	1,9	2,4
		2	2	1	1,4	2,4
		3	1	1,5	0,8	2,3
		4	0	2	0	2

Проверка:

1)

2)