2.4.2. Достаточный признак для задач выпуклого программирования

Теорема 3 (достаточное условие глобального максимума для задач выпуклого программирования)

Пусть целевая функция вогнута (всюду наили хотя бы на допустимом множестве), а функцииобразующие функциональные ограничения, выпуклы. Тогда из выполнения условий Куна-Таккера в точкеследует наличие максимума (и даже глобального) в этой точке. Если при этом функциястрого вогнута, то точка максимума единственная.

Замечание. Выпуклость функций в данном случае можно заменить на более слабое условие (следствие) – выпуклость допустимого множества.

Поясним смысл сформулированного утверждения иллюстрацией для случая одного активного ограничения.

Иллюстрация достаточности условий Куна-Таккера в задаче выпуклого программирования для случая

Пусть в точке выполняется условие Куна-Таккера, т.е. градиент целевой функции раскладывается по градиентам активных ограничений. Поскольку функциивыпуклы, то и допустимое множествовыпукло. Аналогично, поскольку целевая вогнута, то область, в которой значение целевой функции не меньше, чем в точке, тоже выпукло (по аналогичному свойству). Ввиду выполнения условия Куна-Таккера существует разделяющая эти два выпуклых множества гиперплоскость, а значит, точки, в которыхне могут попасть в допустимую область. Особенно наглядно это видно для случая одного активного ограничения. В этом случае разделяющая гиперплоскость проходит через точкуперпендикулярно к соноправленным градиентами, касаясь в точкелиний уровняи. Таким образом, в точкеимеет место глобальный максимум.

Объединяя теоремы 2 и 3, можно сформулировать необходимое и достаточное условие глобального максимума для задач выпуклого программирования, для которых выполнено условие Слейтера.

Теорема 4 (необходимое и достаточное условие наличия в точке глобального максимума)

Пусть в задаче нелинейного программирования

1. функции непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки;

2. функции ,выпуклы (в частности, линейны) на;

3. выполнено условие Слейтера.

Тогда для наличия в точке условного глобального максимума необходимо и достаточно, чтобы в ней выполнялись условия Куна-Таккера.

Приведенное в теореме 3 достаточное условие носит глобальный характер. Но его можно несколько ослабить для локального случая.

Теорема 5 (достаточное условие локального максимума – локально-выпуклый случай)

Пусть существует такая окрестность точки, чтовогнута вили на, гдеХ - допустимое множество, а для которых(эффективные ограничения) выпуклы в(это условие можно заменить на выпуклость множества). Тогда из выполнения условий Куна-Таккера в точкеследует наличие условного локального максимума в этой точке. Если при этом функциястрого вогнута, то локальный максимум строгий.

3. Седловая точка функции Лагранжа. Теорема Куна-Таккера

Рассмотрим функцию Лагранжа

для задачи максимизации

F(х)→ max при g_j(x) ≤ b_j, j = 1,2,…,m; x ≥ 0.

Напомним, что функция Лагранжа для задачи нелинейного программирования задана при x0 и λ0.

Определение. Точка (x^*, λ^*), гдеx^*0 и λ^*0, называется седловой точкой функции Лагранжа, если

L(x, λ^*)L(x^*, λ^*)L(x^*, λ)

для всех x0 и λ0.

Оказывается, что седловая точка функции Лагранжа (1) задачи оптимизации (2) имеет удивительные свойства, которые мы рассмотрим далее.

Основным результатом является теорема Куна-Таккера и ее использование для анализа и решения задач выпуклого программирования. Существенным элементом теоремы Куна-Таккера является выполнение условия Слейтера.

Отметим, что в условии Слейтера в точке х⁰Xлишь нелинейные функциональный ограниченияg_j(x⁰) ≤b_j, j=1,2,…,m, должны выполняться в виде строгих неравенств.

Теорема Куна-Таккера. Пусть в задаче выпуклого программирования множествоXудовлетворяет условию Слейтера. Тогда для того, чтобы векторх^*являлся решением задачи выпуклого программирования, необходимо и достаточно, чтобы нашелся такой векторλ^*0, что пара (x^*,λ^*) составляет седловую точку функции Лагранжа, т.е.

L(x, λ^*)L(x^*, λ^*) L(x^*, λ)для всехx0 иλ0.

1Теорема 3.1 доказана, например, в книге: С. Карлин «Математические методы в теории игр, программировании и экономике». М.: Мир, 1964.

2 См. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980, стр. 170.

3См. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

4См. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980, стр. 173.

18