2.2.3. Признаки выпуклости и вогнутости функций

Можно сформулировать различные достаточные условия выпуклости функции f(x), определенной на выпуклом множестве вXEⁿ. Например, необходимым и достаточным условием выпуклости функции является выпуклость ее надграфика. Во многих случаях выпуклость доказывается непосредственной проверкой условия (3.1). Для доказательства выпуклости функции могут быть использованы и свойства выпуклых функций. Так, например, из легко проверяемой выпуклости функцийf(x) =x²иf(x) =xследует выпуклость функцииf(x) =ax²+bx+cприa, b, c≥ 0.

Условия выпуклости для гладких функций

Обратимся к методу, позволяющему проверить выпуклость дважды непрерывно дифференцируемой функции f(x)на некотором выпуклом множествеSEⁿ. Для этого используем матрицу Гессе функцииf(x)в точках , которую обозначим через. Напомним, что эта матрица является симметричной.

Теорема 3.3.Пусть множествоSEⁿвыпукло. Пусть функцияf(x)дважды непрерывно дифференцируема наS. Тогда для выпуклости функцииf(x)на множествеSдостаточно выполнение условия

(ξ) ξ≥ 0 (3.5)

для всех при всех . ПриØ условие (3.5) также является необходимым.

Доказательство теоремы приводиться не будет⁴. Заметим, что условие (3.5) зачастую пишут в эквивалентном виде

ξ^Т ξ≥ 0. (3.6)

Замечание. Здесь- вектор-дифференциал независимой векторной переменной,- матрица Гессе функции, вычисленная в точке.

При заданном условие (3.6) совпадает с понятием неотрицательной определенности квадратичной формы, задаваемой симметричной матрицей Гессе (x). Поэтому при анализе выпуклости дважды непрерывно дифференцируемой функцииf(x)можно пользоваться критерием неотрицательной определенности квадратичной формы.

Условия вогнутости для гладких функций

Поскольку определение вогнутости функции сводит это понятие к понятию выпуклой функции, то все проведенные рассуждения (с соответствующими корректировками) могут быть применены и к вогнутым функциям. В частности, можно сформулировать следующее достаточное условие вогнутости функции.

Теорема 3.4.Пусть множествоSEⁿвыпукло. Пусть функцияf(x)дважды непрерывно дифференцируема наS. Тогда для выпуклости (вогнутости) функцииf(x)на множествеSдостаточно выполнение условия

(ξ) ξ0 (≤ 0) (3.8)

для всех при всех . ПриØ условие (3.8) также является необходимым.

2.2.4. Алгоритм проверки выпуклости функции на заданном множестве

Пусть задана функция f(x), дважды непрерывно дифференцируемая на множествеXEⁿ. Рассмотрим алгоритм проверки выпуклости этой функции на заданном выпуклом множествеSXс непустой внутренностью. Процедура действий такова:

1. на множестве Xнаходим матрицу Гессекак функциюx;

2. рассчитываем все главные миноры ,k=1,2,…,n; пустьX₊–совокупность тех точек множестваX, в которых≥ 0 одновременно для всех миноров,

3. если SX₊, то функцияf(x) выпукла наS; в противном случае предположение о выпуклостиf(x) наSнадо отвергнуть.

Аналогичным образом проверяется предположение о том, что дважды непрерывно дифференцируемая функция вогнута на заданном выпуклом множестве с непустой внутренностью.

Замечание. Достаточные условия строгой выпуклости на множествеSдля дважды непрерывно дифференцируемых функций могут быть получены на основе небольшой модификации теоремы 3.3. Достаточно потребовать выполнения строго неравенства

ξ ξ> 0

вместо неравенства (3.6), то есть положительную определенность матрицы Гессе во всех точках множестваS. Необходимым и достаточным условие выполнения такого неравенства является положительность всехугловых миноровматрицы(критерий Сильвестра). Таким образом, задача проверки строгой выпуклости является значительно более простой, нежели задача проверки обычной выпуклости функции. Аналогичным образом условия вогнутости преобразуются в условия строго вогнутости.

Пример

Определить, будет ли выпукла (вогнута) на множествефункция.