4.5. Оценка чувствительности экстремального значения целевой функции к изменению констант в условиях связи

Метод Лагранжа позволяет не только находить точки условного экстремума, но также и оценивать чувствительность экстремального значения целевой функции к изменению констант в условиях связи . А именно, множитель Лагранжапоказывает, на сколько единиц изменится экстремальное значение целевой функции при увеличении константы на единицу (если эта единица достаточно мала).

Проиллюстрируем данное свойство для случая двух переменных и одного условия связи (Рис. 8) .

Итак, пусть имеем задачу

и некоторое ее решение . Обозначим.

Изменим «слегка» константу в условии связи, т.е. вместо возьмеми решим новую задачу

.

Предположим, что она имеет решение, «близкое» к , обозначим его, а значение целевой функции.

Рис. 8. Иллюстрация зависимости оптимальной точки и оптимального значения целевой функции от константы в условии связи ()

При определенных ограничениях (окаймленная матрица Гессе в точке локального максимума или минимума положительно или отрицательно определена) решение задачи

,

непрерывно зависящее от , а значение целевой функциитакже непрерывно зависит от, причем функциядифференцируема пои, где– множитель Лагранжа, значение которого получается при решении задачи . Заметим, чтотоже непрерывно зависит от.

Если приращение константы , т.е., достаточно мало, то, и тогда

.

Таким образом, не решая заново задачу , мы можем оценить, насколько изменится оптимальное значение целевой функции, если изменить константу в условии связи на небольшую величину.

Аналогичный вывод справедлив и в общем случае переменных иусловий связи

.

Если даем приращение одной константе в условии связи, то имеем приближенное равенство

,

а в общем случае, так как , получим.

Таким образом, если условия связи описывают ресурсные ограничения, а целевая функция – прибыль или доход, мы можем судить, объемы () каких ресурсов целесообразно увеличить, если представляется такая возможность (например, за счет имеющихся денежных резервов или уменьшения других), а объемы каких – не целесообразно. Так, еслииизмеряются в одних и тех же денежных единицах, то выгоднее увеличивать объемтого ресурса, для которого множитель Лагранжабольше. Если, то, по-видимому, нужно не увеличивать объем такого ресурса, а сокращать.

Если объемы ресурсов () исчисляются в натуральном выражении, то сравнивать следует не значения, а их отношения к ценам ресурсов, т.е..

Действительно,

,

где – дополнительные вложения денежных ресурсов (стоимость увеличения объема ресурсана). Таким образом, дополнительное вложение одной денежной единицы в ресурс, используемый в производстве, принесет дополнительную прибыль (доход) в размереденежных единиц.

Если целевая функция описывает доход, то для вычисления приращения прибыли следует из дополнительного дохода, получаемого за счет увеличения объема ресурса, вычесть дополнительные расходы на его приобретение: .

1В этом случае какой-то из угловых миноров обязательно будет равен нулю.

2– это матрица вторых производных функции Лагранжа только по переменным(без).