Теорема

Пустьи– дважды дифференцируемые функции в некоторой окрестности рассматриваемой точки и.

Тогда для наличия в точке условного локального максимума (минимума) целевой функциипри условии связинеобходимо, чтобы существовал такой вектор, что

и

и достаточно (даже для строгого экстремума), чтобы существовал такой вектор, что

и.

Замечание 1. Как уже отмечалось ранее, условиеназывается условием Якоби. Его можно сформулировать следующим эквивалентным способом: градиенты функций связилинейно независимы в точке.

Точки, в которых условие Якоби не выполняется, могут быть потеряны при отыскании условного экстремума методом Лагранжа (см. пример 1). Поэтому их следует анализировать особо.

Замечание 2. Условиеозначает, что второй дифференциал функции Лагранжа при любых значениях, подчиненных условию связи, принимает неположительные (неотрицательные) значения. Напомним, что²что эквивалентно неположительной (неотрицательной) определенности окаймленной матрицы Гессепри дополнительном ограничении, где.

Аналогично, строгое неравенство в достаточных условиях эквивалентно отрицательной (положительной) определенности окаймленной матрицы Гессе .

Замечание 3. При сделанных в теореме предположениях (при выполнении условия Якоби) вектор , если он существует, определяется однозначно. Действительно, из уравненияследует:, или, т.е. градиент (вектор)представляет собой линейную комбинацию линейно независимых векторовКак известно, такое представление единственно.

Замечание 4. Из теоремы следует, что если в стационарной точке окаймленная матрица Гессе положительно (отрицательно) определена, то целевая функция имеет в данной точке минимум (максимум). Если неопределена (квадратичная форма от дифференциалов знакопеременна), – то экстремума нет, если же квазиопределена (полуопределена), - то данная теорема ответа не дает – требуется дополнительное исследование.

4.3. Детерминантный критерий знакоопределенности квадратичной формы с линейными условиями связи

При исследовании целевой функции на условный экстремум рассматривалась знакоопределенность матрицы Гессе при линейных условиях связи на дифференциалы переменных , что приводило к окаймленной матрице Гессе. Факт такого сведения – алгебраический. Он основан на изучении знакоопределенности квадратичных форм при линейных условиях связи на переменные. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

4.3.1. Знакоопределенность квадратичных форм с линейными условиями связи

Если на аргументы квадратичной формы наложить условия связи, то область ее определения сузится, она уже не будет совпадать с . Поэтому и множество ее значений, вообще говоря, тоже может сузиться. Как это отразится на знакоопределенности квадратичной формы?

Если исходная квадратичная форма положительна или отрицательна, то, очевидно, после наложения условий связи на переменные она таковой и останется.

Если исходная квадратичная форма квазиположительна или квазиотрицательна, то после наложения условий связи на переменные она может остаться таковой или станет положительной (соответственно отрицательной).

Если же исходная квадратичная форма была знакопеременной, то после наложения условий связи на переменные она может стать какой угодно: остаться знакопеременной, стать квазиположительной, квазиотрицательной, положительной, отрицательной или даже нулевой.

Введем некоторые обозначения и определения.

Пусть ;

А– симметричная квадратная матрица размера;

- квадратичная форма отn переменных;

B - матрица размера ,причем, где;

- квадратичная форма, заданная на линейном подпространстве;

- окаймленная матрица квадратичной формы;

- угловой минор порядкаk матрицыS, т.е. минор расположенный на пересеченииkпервых строк иkпервых столбцов матрицыS;

- главный минор порядкаkматрицыS, расположенный на пересечении строк и столбцов матрицыSс номерами.

Определение 1. Будем говорить, что квадратичная формаположительна (отрицательна), если