Решение

Коэффициенты при квадратах переменных последовательно выписываем по главной диагонали матрицы. Коэффициенты при смешанных произведениях делим пополам и выписываем на соответствующих местах, симметричных относительно главной диагонали:

.

3.3.2. Знакоопределенность квадратичной формы

Очевидно, всегда

Определение 2. Будем говорить, что квадратичная формаположительна (отрицательна), если

Определение 3. Будем говорить, что квадратичная форманеотрицательна (неположительна), если

Определение 4. Будем говорить, что квадратичная формаквазиположительна (квазиотрицательна), если она неотрицательна (неположительна), но не является положительной (отрицательной).

Иными словами, квадратичная форма квазиположительна (квазиотрицательна), еслии.

Определение 5. Будем говорить, что квадратичная форма нулевая, если.

Очевидно, у нулевой квадратичной формы все коэффициенты равны нулю.

Нулевая квадратичная форма является частным случаем неотрицательной, неположительной, квазиположительной и квазиотрицательной форм.

Определение 6.Будем говорить, что квадратичная формазнакопеременна, если она принимает накак положительные, так и отрицательные значения, т.е..

Иногда употребляется терминология с использованием слова "определена": положительно определена и т. д. и "полуопределена" (вместо "квазиопределена").

Для матриц квадратичной формы используется следующая терминология:

• положительно (отрицательно) определена – для положительной (отрицательной) квадратичной формы;

• положительно (отрицательно) квазиопределена – для квазиположительной (квазиотрицательной) квадратичной формы;

• неопределена – для знакопеременной квадратичной формы.

Классификация видов знакоопределенности квадратичных форм показано на рис.2

Рис. 2.

3.3.3. Угловые и главные миноры

Определение 7. Будем обозначать через(или просто, если понятно, о какой матрице идет речь) угловой минор порядкаkматрицыА, т.е. минор расположенный на пересеченииkпервых строк иkпервых столбцов матрицыА.

Так, в матрице третьего порядка - три угловых минора:

• первого порядка: ;

• второго порядка: ;

• третьего порядка: .

Определение 8.Будем обозначать через(или без указания матрицы, если понятно, о какой матрице идет речь) главный минор порядкаkматрицыА, т.е. минор, расположенный на пересеченииk строк иkстолбцов матрицыАс одинаковыми номерами.

Так, в матрице третьего порядка – семь главных миноров:

• три – первого порядка: ;

• три – второго порядка: ;

• один – третьего порядка: .

3.3.4. Критерий Сильвестра Теорема (детерминантный критерий Сильвестра) Квадратичная форма

1. положительна тогда и только тогда, когда ;

2. отрицательна тогда и только тогда, когда ;

3. неотрицательна тогда и только тогда, когда ;

4. неположительна тогда и только тогда, когда ;

5. знакопеременна – в остальных случаях.

Из данной теоремы следует, что квадратичная фора квазиположительнатогда и только тогда, когда выполняется условие 3, но не выполняется условие 1 (т.е. все главные миноры неотрицательны, но хотя бы один из них равен нулю¹), иквазиотрицательнатогда и только тогда, когда выполняется условие 4, но не выполняется условие 2.

Для установления знакоопределенности квадратичной формы может быть предложена следующая схема:

1. Составляется матрица квадратичной формы.

2. Определяются знаки ее угловых миноров.

3. Если знаки всех угловых миноров положительны, то квадратичная форма положительна; если некоторые из знаков заменяются нулями ("мягкое" нарушение правила постоянства знаков) – нужно исследовать все главные миноры; если все они неотрицательны, то квадратичная форма квазиположительна (в обоих случаях – неотрицательна);

4. Если знаки угловых миноров чередуются, начиная с минуса, то квадратичная форма отрицательна; если некоторые из знаков заменяются нулями ("мягкое" нарушение правила чередования знаков) – нужно исследовать все главные миноры; если все главные миноры порядка kимеют знак (-1)^k(или равны нулю), то квадратичная форма квазиотрицательна (в обоих случаях – неположительна);

5. Если ни первое (п.3), ни второе (п.4) правила знаков не соблюдаются ("грубое" нарушение правила постоянства или чередования знаков: "+" заменяется на "-" или наоборот), то квадратичная форма знакопеременна.

Наглядно данное правило представлено в следующей таблице:

Знакоопределенность квадратичной формы				………..
Положительная	+	+	+	……….	+
Отрицательная	–	+	–	……….	(–1)n
Неотрицательна	+ или 0	+ или 0	+ или 0	………..	+ или 0
Неположительна	– или 0	+ или 0	– или 0	………..	(–1)nили 0
Нулевая	0	0	0	………..	0

Замечания (следствия из теоремы):

1. Если все угловые миноры положительны, то и все главные миноры положительны;

2. Если знаки угловых миноров чередуются, начиная с "–", то и знаки всех главных миноров данного порядка совпадают со знаком соответствующего углового минора;

3. Если какой-нибудь угловой (главный) минор четного порядка (например, второго) отрицателен, то матрица неопределена (квадратичная форма знакопеременна);

4. Если знаки каких-нибудь угловых (главных) миноров нечетного порядка (например, первого и третьего) противоположны, то матрица неопределена (квадратичная форма знакопеременна);

5. Если какие-нибудь главные миноры одного порядка (например, первого) имеют противоположные знаки, то матрица неопределена (квадратичная форма знакопеременна).

Приведенная выше схема – не догма. В каждом конкретном случае следует искать наискорейший путь к решению проблемы. Например, если Вы видите, что на главной диагонали матрицы стоят элементы различных знаков, то сразу можно сделать вывод относительно неопределенности данной матрицы (главные миноры первого порядка имеют разные знаки), т.е. знакопеременности соответствующей квадратичной формы.

Пример