10

Лекция №8 Тема 4. Оптимизация в условиях неопределенности

1. Общая постановка задачи

При рассмотрении многих экономических проблем и попытки их формализации для последующего решения приходится сталкиваться с наличием разного рода неопределенностей. Таковыми могут быть неточно прогнозируемые:

• ситуация на рынке: цены на сырье, производимую продукцию, платежеспособный спрос населения;

• демографические и социальные условия;

• природные условия: погода, распределение и мощность залежей полезных ископаемых и т.п.

Все это можно рассматривать как игры с природой, т.е. со стихией, которая не имеет своих целей: она не хочет Вам навредить и не хочет получить максимальную выгоду для себя, просто так сложится обстановка.

В этом суть отличия от ситуации, исследуемой в теории игр, где в качестве контрагента выступает активная сторона, преследующая определенные цели, которые могут вступить в конфликт с Вашими.

Рассмотрим следующую постановку задачи. Пусть ,, - множество допустимых решений, а,, - множество возможных значений неопределенных параметров. Решениямы выбираем по своему произволу из множества, на значениямы повлиять не можем, и при выборе решения знать их точно мы тоже не можем. Пусть- числовая целевая функция, значения которой мы хотим максимизировать. При выборе некоторого решениямы получим- неопределенное значение, зависящее от значенияв момент реализации выбранного решения.

Возникает вопрос: как выбирать решение, чтобы добиться наилучшего возможного результата, т.е. максимизации значения функции . В общем виде ответа на этот вопрос не существует. Поэтому приходится рассматривать различные частные случаи, конкретизирующие постановку задачи.

2. Задачи со случайными параметрами

В такого рода задачах неопределенные параметры считаются случайными величинами с известными функциями распределения.

Рассмотрим простейшую задачу. Пусть допустимое множество состоит всего из двух возможных решенийи. И пусть после выбора нами одного из этих решений выясняется значение случайного параметра, который может принимать одно из трех значений: 1, 2 или 3 с заданными вероятностями, которые могут зависеть (или не зависеть) от принятого нами решения:- в случае, если мы приняли решение, и- в случае, если мы приняли решение. Значения целевой функции могут быть заданы либо в виде таблицы

	1	2	3

либо в виде графа

В том случае, когда ситуация выбора повторяется много раз, разумным подходом является максимизация математического ожидания целевой функции, т.е.

по.

В общем случае задача максимизации при случайных параметрах имеет вид:

по.

Рассмотрим в качестве примера более сложную задачу с двухэтапным принятием решения.

Задача выбора оптимальной стратегии разработки нефтяного месторождения

Небольшая нефтяная фирма ведет разведывательное бурение нефтяных участков. Относительно некоторого участка она может принять одно из трех решений: а) не бурить; б) бурить; в) бурить с предварительной сейсмической разведкой. В первом случае доход равен нулю, во втором с вероятностями p₁, p₂ иp₃могут встретиться три исхода: пустая скважина (доход за вычетом затрат на бурение равен минус 700 тыс. руб.), бедная скважина (500 тыс. руб.), богатая скважина (2000 тыс. руб.). Предварительная сейсмическая разведка не дает точного прогноза результатов бурения, она лишь уточняет прогноз. При этом вероятности получения плохого, среднего и хорошего прогнозов при сейсмической разведке равныp^пл, p^ср иp^хорсоответственно. В случае плохого прогноза вероятности трех исходов (пустая, бедная и богатая скважины) равныp₁^пл, p₂^пл иp₃^пл, в случае среднего прогноза –p₁^ср, p₂^ср иp₃^ср, а в случае хорошего прогноза –p₁^хор, p₂^хор иp₃^хор. Стоимость предварительной сейсмической разведки составляет 100 тыс. руб. Построить дерево решений и найти решение, наилучшее с точки зрения максимизации математического ожидания дохода с учетом затрат на бурение и сейсмическую разведку. Вероятности заданы:

p₁=0.5, p₂ = 0.3 иp₃ = 0.2;

p^пл = 0.41, p^ср = 0.35 иp^хор = 0.24;

p₁^пл =0.73, p₂^пл =0.22 иp₃^пл= 0.05;

p₁^ср= 0.43, p₂^ср = 0.34 иp₃^ср= 0.23;

p₁^хор= 0.21; p₂^хор = 0.375 иp₃^хор = 0.415.

В этой задаче на первом этапе принимается одно из трех решений: не бурить, бурить без разведки или произвести сейсмическую разведку. Если принято одно из первых двух решений, то на этом принятие решений заканчивается. Если же принимается решение произвести разведку, то в зависимости от результатов этой разведки опять нужно принимать решение: бурить или не бурить. Целевая функция – доход, который зависит как от принимаемого решения, так и от случайных факторов: интенсивности нефтяного месторождения и результатов сейсмической разведки.

В этой задаче допустимое множество одномерно и состоит из следующих возможных решений:

: не бурить;

: бурить без разведки;

: произвести разведку и если прогноз будет плохой – не бурить, если средний – не бурить, если хороший – не бурить;

: произвести разведку и если прогноз будет плохой – не бурить, если средний – не бурить, если хороший – бурить;

: произвести разведку и если прогноз будет плохой – не бурить, если средний – бурить, если хороший – не бурить;

: произвести разведку и если прогноз будет плохой – не бурить, если средний – бурить, если хороший – бурить;

: произвести разведку и если прогноз будет плохой – бурить, если средний – не бурить, если хороший – не бурить;

: произвести разведку и если прогноз будет плохой – бурить, если средний – не бурить, если хороший – бурить;

: произвести разведку и если прогноз будет плохой – бурить, если средний – бурить, если хороший – не бурить;

: произвести разведку и если прогноз будет плохой – бурить, если средний – бурить, если хороший – бурить.

Множество возможных значений неопределенных параметров двумерно:.

Случайный параметр принимает три значения:

- скважина пустая;p₁=0.5;

- скважина бедная;p₂ = 0.3;

- скважина богатая;p₃ = 0.2.

Случайный параметр принимает тоже три значения:

- прогноз плохой;p^пл = 0.41;

- прогноз средний;p^ср = 0.35;

- прогноз хороший;p^хор = 0.24.

Заданы также условные вероятности:

;;;

;;;

;;.

Целевая функция: . Решается задачапо.

Если мы принимаем решение не бурить, наш доход равен нулю.

Если мы принимаем решение бурить без разведки, может реализоваться один из трех исходов:

1. пустая скважина (с вероятностью p₁=0.5, доход = -700);

2. бедная скважина (с вероятностью p₂=0.3, доход = 500);

3. богатая скважина (с вероятностью p₃=0.2, доход = 2000).

В этом случае средний доход (математическое ожидание) равен:

.

Если мы принимаем решение произвести сейсмическую разведку, может реализоваться один из трех исходов: плохой прогноз, средний прогноз и хороший прогноз. По результатам прогноза мы должны принять одно из двух решений: не бурить или бурить. Можно представить дело так, что мы заранее просчитали все варианты и до проведения сейсмической разведки уже приняли решение, как поступать в том или ином случае. Это отражено в множестве допустимых решений, приведенных выше: .

Подсчитаем для примера математическое ожидание выигрыша для решения , как одного из наиболее разумных:

Для полного решения задачи предложим более наглядный и простой способ вычислений, основанный на построении дерева решений и возможностей. Расчеты будем вести, начиная с конца. В каждом случае будем выбирать наилучший вариант решения.

Таким образом, оптимальным решением будет следующее:

Произвести разведку и в случае плохого прогноза – не бурить, а в случае хорошего или среднего – бурить. В наших обозначениях это соответствует решению . При этом средний доход составит 224,07 тыс. рублей.

До сих пор речь шла о средних значениях выигрыша (дохода, прибыли и т.д.). Однако о средних величинах имеет смысл говорить, когда мы имеем дело с большим количеством испытаний. Если же речь идет об однократном принятии решения, то вопрос об использовании математического ожидания не совсем ясен. К сожалению, в данном случае единого мнения нет. И это принципиальный момент.

Рассмотрим простой пример (парадокс Алле). Пусть множество допустимых решений состоит из двух элементов:и случайный параметрпринимает три значения:. Пусть, далее,, так что вероятностизначения не имеют. В отличие от этого выигрыш при принятии решениязависит от:млн,млн, а, причем.

Граф этой ситуации выбора имеет вид

Оценим средние выигрыши в случае принятия решений и:

Таким образом, . Однако при опросе публики было установлено, что большинство людей выбирает решение, исходя из того, что в решенииесть риск не получить ничего (напомним, что выбор однократный!).

Хотя этот пример называется «парадоксом», ничего странного в таком выборе нет – люди предпочитают не рисковать. Современные теории принятия решений учитывают этот факт и вводят понятие «отвращение к риску».

В то же время есть примеры, когда люди предпочитают рисковать, хотя математическое ожидание не советует этого делать (например, покупают лотерейные билеты, играют в игровые автоматы). Такая ситуация описывается понятием «склонность к риску».

Один и тот же человек при малых суммах может быть склонен к риску, а при больших – относиться к риску отрицательно. По-видимому, наиболее разумный подход в данной ситуации – использование многокритериальных методов, в которых учитывается и математическое ожидание, и различные оценки риска.