Зв’язок між криволінійним та поверхневим інтегралами. Формула Стокса

Нехай в деякій області, в якій розташовано поверхню , яка натягнута на контур , задано функції

, , які неперервні в цій області разом зі своїми похідними. Тоді вірна формула Стокса:

Формула Гріна буде частинним випадком формули Стокса. Якщо поверхневий інтеграл першого типу замінити інтегралом другого типу, то одержимо формулу:

Формулу Стокса зручно записувати за допомогою визначника:

Приклади розв’язання задач:

Приклад 6: Обчислити інтеграл

Дана частина поверхні проектується на площину в кільце, розташоване між колами

. Враховуючи, що

Рис.2.1

Приклад 7: Обчислити інтеграл

площини розташована в 1 октані та відсічена площиною

1. Із рівняння поверхні: Проекція площини на – прямокутник:

Тоді:

2. оскільки площина паралельна вісі

3. Із рівня поверхні: Проекція площини на   – прямокутник:

Тоді:

За властивістю інтеграла:

Теорія поля

Якщо в кожній точці  просторової області задана скалярна або векторна величина, то кажуть, що задано поле цієї величини, скалярне  або векторне .

Основні характеристики полів:

1. Поверхні (лінії) рівня:

2. Векторні лінії: .

3. Градієнт: .

4. Потік векторного поля через поверхню:

5. Дивергенція векторного поля:+

6. Циркуляція векторного поля вздовж кривої:

7. Ротор: . Вірна формула Стокса:

Основні види полів:

Векторне поле  називається потенціальним, якщо існує скалярне поле , що Для того щоб поле було потенціальним ⇔ щоб .

Векторне поле   називається соленоїдальним, якщо існує векторне поле , що. Для того щоб поле було соленоїдальним⇔ щоб . 

Довільне векторне поле може бути представлене в вигляді суми потенціального та соленоїдального полів.

Приклади розв’язання задач:

Приклад 8: Знайти дивергенцію векторного поля

в точці  .

  

Приклад 9: Знайти потік векторного поля

через повну поверхню конуса двома способами (безпосередньо і за формулою Остроградського).

1. Обчислимо потік безпосередньо. Повна поверхня складається з бічної поверхні та поверхні основи . Тому.

Із рівняння поверхні маємо:

,

поверхня проектується на круг Тоді

Переходячи до полярних координат, одержимо

Алалогічно,

Тоді одержимо:

2. Обчислимо потік за формулою Остроградського-Гауса.

Типові завдання

1. Обчислити криволінійний інтеграл.

2. Довести, що даний вираз є повним диференціалом функції .

3. Знайти функцію.

4. За допомогою формули Гріна обчислити інтеграл.

5. Обчислити поверхневий інтеграл першого роду по поверхні  , де  – частина площини , яка розташована між координатними площинами.

6. Обчислити поверхневий інтеграл другого роду.

7. Знайти потік векторного поля через зовнішню поверхню піраміди двома способами (безпосередньо і за формулою Остроградського).

8. Знайти циркуляцію векторного поля через контур трикутника , утвореного в результаті перетину площин, двома способами (безпосередньо і за формулою Стокса).

9. З’ясувати, чи є векторне поле соленоїдальним, потенціальним?