6.1.2. Эквивалентные преобразования участков цепей со связанными индуктивностями

Рассмотрим эквивалентные преобразования участков цепей, содержащих связанные индуктивности. В частности, покажем возможность замены их участками, не содержащими связанных индуктивностей. Начнем с наиболее простых случаев, когда связанные индуктивности включены последовательно (рис. 6.5а,б) или параллельно (рис. 6.6а,б). В этих случаях участок цепи, содержащий связанные индуктивности, имеет два внешних вывода, т.е. представляет собой двухполюсник. Определим его комплексное входное сопротивление и схему замещения.

а	б	в
Рис. 6.5

При последовательном соединении связанных индуктивностей их токи равны, а напряжение на входе данного участка цепи есть сумма напряжений на каждой из индуктивностей: .

Используя полученные ранее уравнения для связанных индуктивностей, запишем зависимость между током и напряжением на зажимах участка цепи: .

Как следует из этого выражения, участок цепи, содержащий последовательно соединенные связанные индуктивности, может быть заменен эквивалентной индуктивностью (рис. 6.5в): , где верхний знак (плюс) соответствует согласному включению, а нижний (минус) – встречному. Таким образом, при согласном включении связанных индуктивностей эквивалентная индуктивность получается больше, а при встречном – меньше, чем эквивалентная индуктивность участка цепи, содержащего последовательно включенные несвязанные индуктивности. На этом основан простой метод измерения взаимной индуктивности, в соответствии с которым сначала производится измерение эквивалентной индуктивности катушек при согласном включении, затем при встречном, после чего по формулерассчитывается.

При параллельном соединении связанных индуктивностей (рис. 6.6а,б) к их зажимам прикладывается одинаковое напряжение , а входной ток рассматриваемого участка цепи складывается из токов обеих индуктивностей:.

а	б	в
Рис. 6.6

С учетом этого составляем систему уравнений

решая которую находим зависимость между током и напряжением на зажимах участка цепи: .

Из последнего выражения следует, что участок цепи, представляющий собой две параллельно включенные связанные индуктивности, обладает эквивалентной индуктивностью (рис. 6.6в) , где верхний знак (минус) соответствует согласному включению, а нижний (плюс) – встречному.

При последнее выражение приводится к виду, откуда следует, чтопри согласном ипри встречном включении индуктивностей.

При коротком замыкании одной из связанных индуктивностей, например индуктивности (рис.6.7а), участок цепи, содержащий эти индуктивности, также представляет собой двухполюсник, напряжение и ток на входе которого совпадают с напряжением и током на зажимах индуктивности. Решая систему уравнений, описывающую процессы на данном участке цепи,

находим ,

где - эквивалентная индуктивность участка цепи (рис. 6.7б).

а	б
Рис. 6.7

Таким образом, все рассмотренные идеализированные двухполюсники, содержащие связанные индуктивности, при любом воздействии могут быть заменены одной индуктивностью . Комплексное сопротивление этих двухполюсников имеет чисто реактивный характер.

Определим схему замещения участка цепи, содержащего две связанные индуктивности, включенные таким образом, что они имеют одну общую точку (рис. 6.8а, б).

а	б	в
Рис. 6.8

Используя в качестве исходных уравнения для напряжений на зажимах связанных индуктивностей, добавим к первому уравнению и вычтем из него член , а ко второму уравнению – член:

После приведения подобных членов эти уравнения принимают вид

Здесь, как и в полученных ранее выражениях, верхний знак соответствует согласному, а нижний знак – встречному включению связанных индуктивностей.

Этим уравнениям может быть поставлена в соответствие схема замещения, не содержащая связанных индуктивностей (рис. 6.8в). Анализ уравнений и схемы показывает, что только при согласном включении и достаточно малом коэффициенте связи () все три индуктивности этой схемы положительны. При встречном включении или при согласном включении и большом коэффициенте связи () одна из индуктивностей оказывается отрицательной. Очевидно, что такой схеме нельзя поставить в соответствие моделирующую цепь, состоящую из идеализированных элементов – индуктивностей. Эта схема является чисто расчетной: ее применение во многих случаях упрощает анализ цепей со связанными индуктивностями.

В общем случае, когда участок цепи содержит связанные индуктивности, не имеющие общих точек, его можно заменить участком цепи без взаимных индуктивностей, но с управляемыми источниками (рис. 6.9а, б).

В первом случае (рис. 6.9а) эквивалентная схема содержит источники напряжения, ЭДС которых равна напряжению на сопротивлении связи. Во втором случае (рис. 6.9б) эквивалентная схема содержит управляемые источники напряжения, ЭДС которых пропорциональна производным токов цепи. Комплексные схемы замещения преобразованных цепей изображены на рис.6.10а, б соответственно.

а	б
Рис. 6.9

а	б
Рис. 6.10

Используя приемы, подобные рассмотренным, можно построить ряд других схем замещения участков цепей со связанными индуктивностями.