3.8. Двойственный симплекс-метод

Смысл двойственного симплекс-метода заключается в том, что вместо прямой задачи решают двойственную при помощи обычного симплекс-метода. Затем по решению двойственной задачи находят оптимальное решение прямой. Для этого устанавливается взаимнооднозначное соответствие между переменными прямой и двойственной задач. Исходным переменным прямой задачи ставятся в соответствие дополнительные переменные двойственной, а дополнительным переменным исходной задачи ставятся в соответствие исходные переменные задачи прямой.

Приводим неравенства задачи к знаку ³, умножая первое, второе и четвертое ограничения на (-1); тогда модель двойственной задачи будет иметь вид:

F ( y) = -6y1 -12y2 + 3y3 - 2y4 (max);

y1 ³ 0, y2 ³ 0, y3 ³ 0, y4 ³ 0 .

35

В большинстве случаев целочисленные задачи сильно отличаются от своих непрерывных аналогов и требуют для решения специальных методов. Условно методы решения задач целочисленного программирования можно разделить на три основных группы: методы отсечения; комбинаторные методы; приближенные методы.

Процедура решения задачи методом отсечения осуществляется следующим образом:

1.Решается задача линейного программирования с отброшенным условием целочисленности. Если в полученном оптимальном решении хотя бы одна переменная или функция цели являются дробными, то переходят ко второму шагу.

2.Строятся дополнительные линейные ограничения, отсекающие от ОДЗП ту её часть, в которой содержится оптимальное решение и не содержится ни одного целочисленного решения.

3.В исходную задачу включается дополнительное ограничение и применяется симплекс-процедура. Если же найденное оптимальное решение опять будет дробным, то формируется новое дополнительное ограничение и процесс вычислений повторяется.

Способы построения дополнительных линейных ограничений известны как алгоритмы Гомори. Они различны для полностью и частично целочисленных задач и обеспечивают решение задачи за конечное число шагов.

3.9.1.Алгоритм Гомори для полностью целочисленной задачи ЛП. Пусть дана следующая задача:

в результате решения которой с отброшенными условиями целочисленности -по лучена оптимальная симплекс-таблица (табл. 3.19) и оптимальное нецелочисленное решение.

37

Здесь для удобства через v j ( j =1, m) обозначены базисные переменные в

оптимальном решении задачи, а через wi (i = 1, n) – небазисные переменные. Для любой j-й строки симплекс-таблицы справедливо равенство:

где выражение в [ ] означает наибольшее целое число, не превышающее исходное,

Подставим (3.31) в (3.30)

i=1

ипреобразуем (3.32) следующим образом

Так как переменные v j и wi должны быть целыми, левая часть (3.33) также

целая, следовательно, правая часть уравнения (3.33) может принимать только целые значения. Для того, чтобы правая часть была целой, необходимо выполнение неравенства:

Выражение (3.34) представляет дополнительное линейное ограничение, или отсечение Гомори, которое определяет гиперплоскость, отсекающую нецелочисленные решения задачи вместе с частью ОДЗП и сохраняющую при этом все -це лые решения. Дополнительное ограничение составляется по той строке, переменной v j которой соответствует наибольшая дробная часть. Признаком отсутствия

целочисленного решения служит наличие в таблице хотя бы одной строки с дробным свободным членом и целыми остальными коэффициентами. Задача (3.29) с

38

Графическая интерпретация решения представлена на рис. 3.6.

x2

Рис. 3.6. Графическая интерпретация примера 3.8

Дополнительное ограничение составляем по строке, соответствующей пере-

менной x1 в табл. 3.22, так как у нее наибольшая дробная часть: {x1 }= 2 . 3

На основании (3.34) получаем:

Приведем (3.35) к виду равенства, вводя дополнительную переменную x6 и одновременно умножая на (-1). Тогда

С учетом (3.36) симплекс-таблица расширенной задачи представлена табл. 3.23. Осуществляя оптимизацию, найдем, что оптимальное целочисленное

решение определяется по табл. 3.24: x1* = 2; x2* = 5; Fmax = 27.

При нахождении оптимального целочисленного решения всегда происходит проигрыш в величине экстремального значения функции-цели.

40

Если значение vk = bk оказалось дробным, то можно сказать, что интервал [bk ]< vk < [bk ]+1 не содержит допустимых целочисленных компонентов решения.

Тогда для целочисленной переменной vk должно выполняться одно из двух неравенств: либо vk £ [bk ] , либо vk ³ [bk ] + 1. Левая часть выражения (3.38) должна

быть целой.

Рассмотрим условия, при которых правая часть (3.38) будет принимать целое

Уравнение (3.42) определяет отсечение Гомори для частично целочисленной задачи и является дополнительным ограничением в расширенной задаче. Двойственный симплекс метод позволяет решать расширенную задачу одной заменой базисной переменной.

Пример 3.9. Найти оптимальное решение F (x) = 6x1 + 8x2 + x3 + 2x4 (min)

42

Процедура решения задачи с отброшенным условием целочисленности дляx1 иллюстрируется симплекс-таблицами 3.25 – 3.27. Получено оптимальное, но не целочисленное решение.

Дополнительное ограничение составляем по строке, соответствующей переменной x1 табл. 3.27, на основании выражения (3.42).

После преобразования (3.43), умножения его на (-1) и введения дополнительной переменной х7 получим дополнительное ограничение в виде

табл. 3.27 ограничения (3.44). Выполняя симплекс-преобразования, переходим к табл. 3.29, которая соответствует оптимальному решению с целым значением x1:

x1* = 2;

x2* = 1 ;

2

x6* = 1 ;

2

x3 = x4 = x5 = x7 = 0;

Fmin = 16.

43