5.4. Метод допустимых направлений Зойтендейка

Метод допустимых направлений Зойтендейка пригоден для решения задач с достаточно сложными функциями цели и ограничениями. Рассмотрим последовательность решения нелинейной задачи с линейными ограничениями, когда экс-

каждой точке допустимой области

max{F ( x) Ax £ B, xi ³ 0,i =1, n, x0 Î X }.

Из начальной точки x0, лежащей внутри ОДЗП, движение осуществляется по направлению вектора градиента ÑF (x0 ) до тех пор, пока не будет достигнута граница области (рис. 5.2).

В общем случае двигаться до границы необязательно, так как максимум F(x) может достигаться и до встречи с ней. В рассматриваемом случае F(x) все время возрастает, поэтому остановитьcя следует в точке x1 на граничной прямой.

Определим аналитически координаты точки x1. Они зависят от величины шага a0 в направлении вектораÑF (x0 ) и записываются как x1 = x0 + a0ÑF (x0 ) .

Значение a0 выбирается таким образом, чтобы точка x1 принадлежала ОДЗП и,

кроме того, функция цели F(x) должна достигать максимума по параметру a0 в рассматриваемом направлении.

aTj = [a j1, a j 2 ,...,a jn ] является j-й строкой матрицы А. Подставляя координаты точ-

ки x1 в ограничения задачи, получим систему неравенств

максимизирующее F (x) . Для этого координаты x1 подставляются в функцию цели

вается на границе области, как и показано на рис. 5.2.

86

ки xk и лежащим в ОДЗП. Процесс прекращается при достижении точки xk, в которой максимум ÑF (xk )T S k = 0 . Это значит, что соответствующие векторы взаимно перпендикулярны и дальнейшее увеличение целевой функции в данной области невозможно, а точка xk является искомой точкой максимума функции F(x).

На рис. 5.2 движение из точки x1 осуществляется в направлении S1 вдоль граничной прямой до тех пор, пока функция F(x) возрастает, т.е. до точки x2 . Далее движение идет вдоль другой границы в направленииS 2 и заканчивается в точке x3 , в которой max{ÑF (x3 )T S 3} = 0, т.е. нет нового направления S 3 , которое

ведет к увеличению F(x). В точке x3 функция цели достигает глобального максимума в рассматриваемой области.

В задачах с линейными ограничениями движение осуществляется по граничным прямым. При нелинейных ограничениях, определяющих выпуклую область, любое сколь угодно малое перемещение из граничной точки может сразу вывести за пределы ОДЗП и возникает необходимость в возвращении. При этом строятся последовательности точек, расположенных вблизи границы и внутри ОДЗП, при-

водящие к зигзагообразному движению вдоль границы с ее пересечением

(рис. 5.3).

x0 = [2;1] .

ОДЗП решения задачи приведена на рис. 5.4.

1-й шаг. Рассмотрим решения задачи:

Находится направление вектора градиента в точке x0 , ÑF (x0 ) =[8; 6], тогда координаты очередной точки x11 = 2 + 8a0 ; x12 =1 + 6a0 (см. пример 4.5).

2-й шаг. Определяется интервал допустимых значений для параметра a0 , при котором точка х1 будет принадлежать ОДЗП. Для этого координаты точки х1 подставляются в ограничения задачи

88

Направление S k находится, как решение задачи

max{ÑF (xk )T × S k | aTj S k £ 0, || S k ||£1}.

Направление S1 очередного шага определяется из условия:

éS1 ù

aTj S1 =[11]ê 11 ú = S11 + S12 = 0 ,

êS ú ë 1 û

где aTj – вектор коэффициентов при переменных во втором ограничении, на кото-

ром находится точка х1.

Отсюда следует, что S12 = -S11, тогда

При движении из точки x1 в точку x2 следует двигаться по граничной прямой в направлении S1 , как показано на рис. 5.4.

5-й шаг. Координаты точки х2 определяются выражением: x2 = x1 + a1S1 или

Находится интервал изменения a1 , при котором х2 принадлежит ОДЗП:

Второе ограничение опущено, так как точка х2 принадлежит соответствующей ему прямой, тогда - 3,62 £ a0 £ 2,01.

6-й шаг. Находится a1 , которое обеспечит максимум функции F(x) в направлении S1 .

Для этого координаты точки х2 подставляются в функцию F(x), тогда

F (a1) = 29,58 -1,01(a1 )2 +1,22a1 ;

dF = -2,02a1 +1,22 = 0 , a1 = 0,6. da1

90