Тема 5. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ

СОГРАНИЧЕНИЯМИ

Внелинейном программировании (НП) рассматриваются задачи отыскания экстремума функции многих переменных при наличии ограничений на переменные в виде неравенств, при этом функция цели или хотя бы одно ограничение нелинейны. Задача НП формулируется следующим образом.

Найти значения переменных x1, x2 ,..., xn минимизирующие скалярную целевую

функцию F (x1, x2 ,..., xn ) при наличии ограничений вида g j (x) £ 0, j = 1, m , где по крайней мере одна из функций F(x) и g(x) является нелинейной.

Методы решения задач НП по сравнению с задачами ЛП обладают большим многообразием. Экстремум в задачах НП может достигаться не только в вершине или на границе области допустимых значений переменных, но и внутри области.

Допускаются любые соотношения между количеством переменныхn и числом m ограничений задачи, т.е. n < m, n = m, n>m. Решение задач НП может давать два или несколько экстремумов, что требует дополнительных проверок результата решения.

5.1. Метод неопределенных множителей Лагранжа

Метод отыскания условного экстремума функции многих переменных в задачах с ограничениями равенствами при отсутствии требований неотрицательности и целочисленности переменных был предложен Лагранжем и называетсямето-

дом множителей Лагранжа.

Пусть все ограничения имеют вид равенств

Преобразуем их к виду b j - j j (x) = g j (x) = 0 . Будем полагать, что функции

F (x) и g(x) непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Образуем вспомогательную функцию L(x, l), объединив функцию F (x) с ограничениями, используя неотрицательные постоянные множители l1,..., lm

условия безусловного экстремума, т. е.

78

Функция L(x,l) называется функцией Лагранжа, a числа l1,..., lm – неопре-

деленными множителями Лагранжа.

Таким образом, вычисление условного экстремума функции F (x) сводится к отысканию безусловного экстремума функции Лагранжа(5.2). Задача состоит в нахождении n + m неизвестных, включающих n переменных х и m множителей Лагранжа. Для их определения используется система изm ограничений и n уравнений (5.3) являющихся условиями экстремума функции Лагранжа.

Множители Лагранжа имеют определенный смысл. Предположим, что правые части системы ограничений (5.1) могут в некоторых пределах изменяться. Если рассматривать функцию Лагранжа как функцию вектора b, т.е.

m

L(x, l, b) = F (x) + ål j [b j - j j (x)],

j =1

L(x* , l) º F(x* ), поэтому множители Лагранжа показывают, как реагирует целе-

вая функция на изменение соответствующих параметров b j , т.е. DF » l j .

Db j

Если F интерпретировать как прибыль или стоимость, а b j как некоторые ре-

сурсы, то l j будут показывать как изменится максимальная прибыль(или мини-

мальная стоимость) при увеличении количества j-го ресурса на единицу.

5.2. Теорема Куна-Таккера

Одной из важнейших теорем в теории НП является теорема Куна-Таккера, обобщающая классический метод неопределенных множителей Лагранжа на зада-

79

m

Введем функцию Лагранжа L(x,l) = F (x) + ål j g j (x) , используя совокуп-

j =1

ность неопределенных множителей Лагранжа l1, l2 ,..., lm .

Теорема Куна-Таккера формулируется следующим образом. Пусть существует вектор x, такой, что xi ³ 0,i =1, n и g j (x) £ 0, j = 1, m . Тогда для того, что-

бы вектор x* был оптимальным решением задачи (5.4), необходимо и достаточно, чтобы существовал неотрицательный m-мерный вектор l, такой что

точка ( x*, l* ) с такими свойствами называется cедловой точкой, а теорему Куна- Таккера часто называют теоремой о седловой точке. Итак, задаче (5.4) минимизации F(x) соответствует задача нахождения седловой точки (минимаксная задача)

для функции L, в которой из всех ограничений сохраняются только ограничения на знак.

Геометрически соотношение (5.4) интерпретируется с помощью рис. 5.1.

L L

а

х

l* l

б

Рис. 5.1. Геометрическая интерпретация теоремы о седловой точке

80

Если F(x) и g j (x) являются дифференцируемыми функциями, то условия теоремы Куна-Таккера записываются следующим образом:

венство нулю производной, а для граничных точек (l = 0) первая производная для

¶L

случая максимума должна быть неположительной, т.е. ¶l j x* , l* < 0 .

Условия (5.6) и (5.7) эквивалентны (5.5), т.е. являются необходимыми и достаточными для оптимальности x* в случае выпуклости F (x) и всех ограничений задачи. Если имеется в виду седловая точка с максимумом поx и минимумом по l, то знаки неравенств в первых строчках систем(5.6) и (5.7) изменяются на противоположные.

5.3. Квадратичное программирование

Задача МП, в которой функция цели квадратична, а все ограничения линей-

ны, носит название задачи квадратичного программирования.

В общем случае функция цели задачи квадратичного программирования(КП) может быть представлена следующим образом:

Симметричность этой матрицы необходима для квадратичности функции цели, чтобы члены xl dlm xm и xm dml xl равнялись друг другу и объединялись в один

2xl dlm xm . Линейные ограничения задачи КП имеют такой же вид, как и в задаче ЛП Ax £ B, x ³ 0, где А – постоянная матрица размерности m×n, B – m-мерный постоянный вектор.

Одним из условий применения теоремы Куна-Таккера является требование к выпуклости функции F(x) и всех ограничений. Ограничения задачи КП линейны и, следовательно, выпуклы. Для того, чтобы функция (5.8) была выпуклой, необ-

ходимо, чтобы матрица D была положительно полуопределенной, т.е. xТ Dx ³ 0 , для всех x.

Функция Лагранжа для задачи (5.9) имеет вид:

L(x, l) = C T x + xT Dx + lT g(x) = C T x + xT Dx + lT ( Ax - B).

Применим условия теоремы Куна-Таккера к рассматриваемой задаче. Найдем частные производные

¶L = C + 2Dx + AT l ³ 0, ¶L = Ax - B £ 0 .

¶x ¶l

Введем дополнительные неотрицательные переменные, чтобы привести нера-

можно представить как xTV = 0 и lTW = 0 .

Таким образом, решение задачи КП сводится к решению следующей системы уравнений:

82

Вектор x* , удовлетворяющий системе уравнений(5.10), является оптимальным решением задачи КП. Существуют различные специальные методы определения x* . Рассмотрим один из них, позволяющий свести решение задачи КП к задаче ЛП.

Необходимые и достаточные условия (5.10) для решения задачи (5.9) можно трактовать следующим образом: найти значения x* , удовлетворяющие системе линейных уравнений

ìAx +W = B,

Решение системы (5.11) при ограничениях (5.13) может быть найдено при помощи симплекс-метода. Задача, следовательно, состоит в том, чтобы среди допустимых базисных решений этой системы найти такое, которое удовлетворяет условию (5.12).

Сохранение условия (5.12) на протяжении всего процесса вычислений обеспечивается выполнением следующего дополнительного правила:

-при переходе к очередному базисному решению переменная w j не должна включаться в базис, если там уже присутствуетl j ; переменная l j не должна включаться в базис, если там уже присутствует w j ;

-при переходе к очередному базисному решению переменнаяvi не должна включаться в базис, если там уже присутствует xi ; переменная xi не должна включаться в базис, если там уже присутствует vi .

Таким образом, дополнительное правило запрещает одновременное присутствие переменных xi и vi с одинаковым индексом i и переменных l j и w j с оди-

наковым индексом j в числе переменных отличных от нуля.

Допустимое базисное решение, удовлетворяющее нелинейным ограничениям

условия теоремы Куна-Таккера.

83