Mekhanika_ver4

– при z4=с=2 м

M4 RyB z4 F d z4 20,97 2 12 2,5 2 12,06 кН∙м.

Ставим на эпюре две точки и соединяем прямой.

Для задач данного типа справедливы следующие проверки по

эпюрам изгибающих моментов:

–Если на балке есть сосредоточенный момент (или пара сил), то на эпюре должен быть скачок на его величину.

–Эпюра моментов представляется в виде прямой линии, кроме слу-

чаев, где на балке приложена распределенная нагрузка (на данных участ-

ках, эпюра представляется в виде параболы).

– Если эпюра поперечных сил, на рассматриваемом участке больше нуля, то эпюра моментов – возрастает, если меньше нуля – убывает, при равенстве нулю – эпюра моментов параллельна нулевой линии.

Проверки эпюры изгибающих моментов (рис. 2.11):

– на эпюре имеется единственный скачок там, где приложен сосре-

доточенный момент М;

–эпюра представляется в виде прямой линии, за исключением участка, где приложена распределенная нагрузка. На этом участке, эпюра виде параболы;

–эпюра поперечных сил больше нуля на участках d и левой части участка а – на этих участках, эпюра моментов возрастает. Эпюра попереч-

ных сил меньше нуля на участках b, с и правой части участка а – на этих

участках, эпюра моментов убывает.

61

Подбор оптимального сечения

Максимальный изгибающий момент (исходя из эпюры рис. 2.11)

Mmax 33,88 кН м.

Требуемый момент сопротивления остальной двутавровой балки

Wx Mmax 33,88 1063 0,000212м3 212 см3. [ ] 160 10

Из таблицы сортамента (приложение А) выбираем двутавр № 22, у которого Wx 232см3.

Пример № 2. Дано:

Для заданной схемы балки требуется построить эпюру поперечных сил и эпюру изгибающих моментов, найти максимальный изгибающий момент Мmax и по нему подобрать стальную балку круглого сечения. Допускаемое напряжение на изгиб принять [ ] 150МПа. Нагрузки и размерные параметры, следующие: F=10 кН; q=2 кН/м; М=5 кН·м; a=3,5 м; b=3 м;

с=2,5 м.

Рис. 2.12. Схема балки

Решение:

Определение реакций опор

Поместим данную балку в плоскую систему координат. Проставим реакции на заданной схеме.

62

Опорная реакция RyА направим вертикально вверх. Горизонтальная составляющая реакций в неподвижной опоре RxА. Изгибающий момент

Мизг в жесткой заделке.

Рис. 2.13. Рассматриваемая балка в системе координат

Для определения реакций используем уравнения равновесия для плоской системы (1.3):

Для определения реакций составим уравнения исходя из условий равновесия:

– уравнение проекций всех сил на ось x:

RxA 0,

– уравнение проекций всех сил на ось y:

RyA q b F 0 ,

RyA q b F 2 3 10 4 кН,

так как числовое значение реакции получилось отрицательное, следова-

тельно реакций RyА направлена противоположно поставленной на схеме.

– исходя из условия – сумма моментов относительно любой точки равняется 0 (1.3), составим уравнение относительно опоры:

МА 0,

63

Mизг M q b a b F a b c 0,

2

Построение эпюры поперечных сил Q

Для построения эпюр, используем метод сечений. Разбиваем балку на три участка (a, b, c).

Рис. 2.14. Сечения балки

Участок a. Проводим сечение I-I на расстоянии z1; 0 z1 a от ле-

вого конца балки. Правую часть балки откидываем, левую зарисовываем,

добавляя при этом, поперечную силу Q1 (согласно правилу знаков рис. 2.9) – рис. 2.15 а.

64

Строим участок эпюры (рис. 2.16, эпюра Q).

Рис. 2.16. Схема и эпюры

Участок с. Проводим сечение II-II на расстоянии z2; 0 z2 c от правого конца балки. Левую часть балки откидываем, правую зарисовыва-

ем, добавляя при этом, поперечную силу Q2 (согласно правилу знаков рис. 2.9) – рис. 2.15 б.

Рассмотрим равновесие правой части балки. Поперечную силу в ис-

комом сечении находим, используя уравнение равновесия (1.3).

F Q2 0,

66

отсюда

Q2 F 10 кН.

Эпюра на участке с – прямая с ординатой –10 кН (рис. 2.16).

Участок b. Проводим сечение III-III на расстоянии z3; 0 z3 b от правого конца балки. Левую часть балки откидываем, правую зарисовыва-

ем, добавляя при этом, поперечную силу Q3 (согласно правилу знаков рис. 2.9) – рис. 2.15 в.

Рассмотрим равновесие правой части балки. Поперечную силу в ис-

комом сечении находим, используя уравнение равновесия (1.3).

Q3 F q z3 0,

отсюда

Q3 q z3 F кН,

– при z3=0

Q2 q z3 F 2 0 10 10 кН,

– при z3=b=3 м

Q2 q z3 F 2 3 10 6 10 4 кН.

Эпюра на участке b – прямая направленная под углом. Правая орди-

ната –10 кН, левая ордината –4 кН (рис. 2.16).

67

Проверки эпюры поперечных сил (рис 2.16):

– На балке имеются 2 сосредоточенные силы RyA, F. На эпюре попе-

речных сил имеются скачки в точках приложения, равные по значению и направленные в сторону рассматриваемых сил.

– Эпюра имеет наклон только на участке b, где имеется распреде-

ленная нагрузка. В остальных случаях эпюра параллельна нулевой линии.

Построение эпюры изгибающих моментов

Для построения используем те же участки что и при рассмотрении эпюры поперечных сил.

Участок a. Сечение I-I на расстоянии z1; 0 z1 a. Добавляем, из-

гибающий момент M1 (согласно правилу знаков рис. 2.9) – рис. 2.15 а.

Рассмотрим равновесие левой части балки. Искомый изгибающий момент в сечении находим, используя уравнение равновесия (1.3), относи-

тельно центра тяжести сечения c1.

Mc1 0 RyA z1 Mизг M1,

M1 RyA z1 Mизг .

Уравнение прямой линии. Для построения достаточно найти две точки:

– при z1=0

M1 RyA z1 Mизг 4 0 65 65кН ,

– при z1=а=3,5 м

68

Ставим на эпюре две точки и соединяем прямой.

Участок с. Сечение II-II на расстоянии z2; 0 z2 с. Добавляем, из-

гибающий момент M2 (согласно правилу знаков рис. 2.9) – рис. 2.15 б.

Рассмотрим равновесие правой части балки. Искомый изгибающий момент в сечении находим, используя уравнение равновесия (1.3), относи-

тельно центра тяжести сечения c2.

Mc2 0 F z2 M2 ,

M2 F z2 .

Уравнение прямой линии. Для построения достаточно найти две точки:

– при z2=0

M2 F z2 10 0 0 кН∙м,

– при z2=с=2,5 м

M2 F z2 10 2,5 25 кН∙м.

Ставим на эпюре две точки и соединяем прямой.

Участок b. Сечение III-III на расстоянии z3; 0 z3 b Добавляем,

изгибающий момент M3 (согласно правилу знаков рис. 2.9) – рис. 2.15 в.

Рассмотрим равновесие правой части балки. Искомый изгибающий момент в сечении находим, используя уравнение равновесия (1.3), относи-

тельно центра тяжести сечения c3.

69

Получили уравнение параболы. Для ее приближенного построения достаточно найти значения момента в трех точках: начало, конец и середи-

на (в случае если имеется вершина параболы, то обязательно ее построение):

– при z3=0

– при z3=b=3 м

– при z3=b/2=1,5 м (т. к. нет пересечений эпюры поперечных сил на участке b, следовательно, вершины – нет).

Отложив вычисленные значения изгибающих моментов, проведем через них параболу.

Проверки эпюры изгибающих моментов (рис. 2.16):

– на эпюре имеются два сосредоточенных момента. В этих местах на эпюре имеются скачки численно равные величинам моментов;

70