3.1. М-последовательности

М-последовательности, известные еще как последовательности Хаффмена, относятся к линейным рекуррентным последовательностям максимального периода.

Значение каждого текущего символа в M-последовательности зависит отзначений предыдущих символов и определяется рекуррентным правилом:

(3.3)

где имогут принимать значение 0 или 1; - знак сложения по модулю два; число называется памятью последовательности. Из выражения (3.3) следует, что устройство, вырабатывающее двоичную линейную рекуррентную последовательность, должно помнитьпоследних символов последовательностии складывать их по модулю два с весамизадаваемыми правилом кодирования.

M-последовательности строятся на основе неприводимых примитивных двоичных многочленов. Общее число возможных различных M-последовательностей максимального периода в ансамбле определяется из выражения [26,27]

,

(3.4)

где - функция Эйлера,- степень неприводимого примитивного многочлена

M-последовательности обладают следующими свойствами:

• являются периодическими с периодом , где- длина регистра, с помощью которого формируется M-последовательность;

• все импульсы в периоде распределены равновероятно;

• сумма двух M-последовательностей, сдвинутых относительно друг друга, также является M-последовательностью;

• в M-последовательности длиной содержатся все n-значные комбинации двоичных символов кроме нулевой;

• в каждом периоде общее число единиц отличается от общего числа нулей не более чем на единицу.

М-последовательности, будучи линейными, характеризуются малым значением эквивалентной линейной сложности , равным. Для раскрытия структуры линейного кода достаточно безошибочно принятьследующих подряд элементов последовательности.

Формируются M-последовательности с помощью сдвиговых регистров и схем суммирования по модулю два. Структура цифрового автомата для формирования М-последовательности полностью определяется видом неприводимого примитивного многочлена.

М-последовательности служат основой для формирования других многочисленных ансамблей ПСП: последовательностей Голда, Касами, Бент-последовательностей, последовательностей GMW.

Пример. Построить М-последовательность над полем Галуа , схему формирования и АКФ.

Выберем из табл.3.2 неприводимый двоичный многочлен .

Пусть начальное состояние регистра 1000.

Тогда формирование -го элемента последовательности будет определяться выражением (3.3):

. (3.5)

В неприводимом двоичном многочлене коэффициенты,, следовательно,

. (3.6)

Тогда, ;

;

… .

Таким образом, получим последовательность: 100011110101100 1000111101… .

На рис.3.1 приведена схема формирования М-последовательности, в которой число элементов задержки и количество сумматоров определяется выражением (3.6).

Рис.3.1. Схема формирования М-последовательности

Периодическая АКФ М-последовательности рассчитана в пакете Matcad по формуле (3.2) и показана на рис.3.2.

Рис.3.2. Периодическая АКФ М-последовательности