Лекция 11

Интервальные оценки

Точечные оценки дают представление о значе­нии показателя надежности, но ничего не говорят о точности этой оценки. Для рассмотрения точности оценки вводится понятие доверительного ин­тервала.

Как выше, примем, что имеются результаты k наблюдений t₁,..., t_k над случайной величиной Т с функцией распределения F(t,), где параметр неизвестен. Необходимо найти такую функцию результатов наблюдений, чтобы интервал (_н, ∞) накрывал неизвестный параметр с заданной вероятностью :

. (4.6)

Величину _н называют нижней доверительной границей параметра при односторонней доверительной вероятности .

Для заданной вероятности по той же совокупности наблюдений может быть найдена функция такая, что интервал (0, _вр) накрывает параметр с вероятностью :

. (4.7)

Величину _вр называют верхней доверительной границей параметра при односторонней доверительной вероятности .

Нижняя и верхняя доверительные границы образуют доверительный ин­тервал, который с вероятностью накрывает на числовой оси неизвестное значение параметра . При >0,5 и>0,5 (доверительные вероятности и обычно выбираются не менее 0,8) согласно (4.7) и (4.8):

Обычно принимают, что , тогда .

Значение доверительного интервала тем меньше, чем больше число k на­блюдений (например, чем больше число отказов при испытаниях) и чем меньше значение доверительной вероятности.

Определение границ доверительного интервала заключается в следующем. Так как оценка неизвестного параметра является случайной величиной, то находим закон ее распределения. Затем определяем интервал , в который случайная величина попадает с вероятностью .

С помощью (4.11) может быть получен приближенный способ построения доверительных интервалов средней наработки до отказа для плана [N U N] при произвольном распределении. Способ основывается на том, что незави­симо от исходного распределения уже при числе испытываемых изделий N >1520 среднее арифметическое, т.е. оценка , распределено приближенно нормально с математическим ожиданием, а неизвестное значение диспер­сии заменяется ее точечной оценкой такой же, как в соотношении (4.6):

.

Тогда, как в предыдущем случае, получим относительные значения границ доверительного интервала.

4.3 Контрольные испытания

Контрольным испытаниям обычно подвергаются подсистемы, технические средства и их элементы. Так, для технических средств, входящих в состав ГСП, обязательными являются контрольные испытания на безотказность. Испытания на ремонтопригодность, сохраняемость и долговечность проводят в тех случаях, когда это предусмотрено стандартами, тёхническими заданиями или техническими условиями на конкретный прибор (средства). Периодичность контрольных испытаний на безотказность обычно не реже одного раза в три года.

Для проведения контрольных испытаний из совокупности (партии) однородных приборов составляется некоторая выборка и проводятся испы­тания на надежность попавших в эту выборку приборов. По результатам испытания выборки выносится суждение о соответствии всей партии предъявляемым требованиям.

Математический аппарат решения этой задачи — изучаемые в матема­тической статистике методы проверки статистических гипотез. В качест­ве проверяемой (или, как принято говорить, нулевой) гипотезы принима­ется предположение, что партия соответствует требованиям к надежно­сти, в качестве противоположной (альтернативной) – что партия не удовлетворяет этим требованиям.

По результатам испытаний имеет место одна из следующих четырех ситуаций:

1. Партия удовлетворяет требованиям; по результатам испытаний подтвердилась нулевая гипотеза и принято решение о принятии партии. Это решение правильно.

2. Партия удовлетворяет требованиям, но по результатам испытаний нуле­вая гипотеза не подтвердилась. Это произошло потому, что случайно составленная выборка содержала повышенное число отказавших приборов по срав­нению с совокупностью. Принята альтернативная гипотеза; это решение не­правильно и невыгодно для изготовителя приборов. При этом произошла ошибка, вероятность которой называют риском поставщика (изготовителя) α.

3. Партия не удовлетворяет требованиям, по результатам испытаний нуле­вая гипотеза не подтвердилась. Принята альтернативная гипотеза, т. е. реше­ние о непринятии партии. Это решение правильно.

4. Партия не удовлетворяет требованиям, но по результатам испытаний подтвердилась нулевая гипотеза о соответствии требованиям к надежности, так как выборка содержала повышенное число неотказавших приборов по сравнению со всей партией. Принято неправильное решение, но оно невыгод­но в отличие от п. 2 не изготовителю, а потребителю – заказчику этих при­боров. Произошла ошибка, вероятность которой называют риском потреби­теля (заказчика) β.

Естественно, что желательно снизить значения обеих ошибок, доведя их в пределе до нуля. Зависимость вероятности L приемки партии от показателя надежности А (называемая оперативной характеристикой плана контроля) для такой предельной ситуации дана на рис. 4.3,а. Пусть А_тр – требуемое значе­ние показателя надежности. В этой ситуации нулевая гипотеза АА_тр. Если она справедлива, то партия принимается с вероятностью, равной единице, причем α=0. Альтернативная гипотеза заключается в том, что А<А_тр. При этом партия бракуется с вероятностью, равной единице, причем β=0. Однако такая идеальная оперативная характеристика недостижима, так как требует бесконечного объема наблюдений.

В реальной ситуации вводятся два уровня контролируемого показателя на­дежности: приемочный А_α и браковочный А_β (рис. 4.3,б). Если АА_α, то при­боры должны приниматься с достаточно высокой вероятностью, не ниже L(А_α), если А<А_β, то приборы должны браковаться с достаточно высокой вероятностью, не ниже 1–L(А_β). При этом риск поставщика α=1-L(А_α), риск потребителя α=1-L(А_α). Тем самым проверку нулевой гипотезы АА_тр при аль­тернативе А<А_тр заменяем другой задачей — проверкой нулевой гипотезы АА_α при альтернативе А<А_β. Чем ближе А_α к А_β, тем больший объем испы­таний необходим для принятия достоверного решения о соответствии партии.

Рис. 4.3 Идеальная (а) и реальная (б) оперативные характеристики планов контроля

Практически в качестве приемочного уровня А_α принимают: расчетное значение показателя надежности, если не было испытаний надежности; худ­шую доверительную границу показателя надежности (А_н или А_вр), если про­водились определительные испытания.

Значение браковочного уровня А_β устанавливается с учетом приемочно­го уровня А_α, стоимости, продолжительности и условий испытаний и т. п.

Риск поставщика α и потребителя β обычно принимается равным 0,1-0,2, но в принципе по согласованию между потребителем и поставщиком воз­можен выбор и иных значений α и β.

Контрольные испытания на безотказность проводятся обычно одно- или двухступенчатым методом. При применении первого из них испытания выполняют следующим образом. Образцы, вошедшие в выборку объема d, испытывают в течение времени t_И. По окончании испытаний определяют число наступивших отказов п. Если оно равно или меньше приемочного числа отказов с, определенного в зависимости от величин А_α, А_β, α и β, то нулевая гипотеза подтверждается и партию принимают. Если же п>с, то подтверждается альтернативная гипотеза и партию не принимают.

При применении двухступенчатого метода определяют объемы выборок n₁ и n₂ и приемочные числа отказов c₁ и c₂ для первой и второй ступеней, зависящие от величин А_α, А_β, α и β.

Образцы, вошедшие в первую выборку, испытывают в течение времени t_и и определяют число наступивших отказов d₁. Если , то результаты контрольных испытаний положительны. Если >c₁ + c₂, то испытания прекращаются, а их результаты считаются отрицательными. Если c₁ < d₁ c₁+ c₂, то проводят испытания второй ступени.

Образцы изделий, вошедшие во вторую выборку, также испытывают в течение времени t₁. По окончании второй ступени определяют суммарное число отказов d₁ + d₂ . Если , то результаты испытаний положительны; если, то отрицательны.

Одноступенчатый метод при прочих равных условиях обеспечивает ми­нимальную календарную продолжительность испытаний, двухступенчатый при тех же условиях позволяет обеспечить минимум среднего объема ис­пытаний.