Методы обращения матриц

Могут быть обращены только неособенные квадратные матрицы

Метод окаймления (деления на клетки)

Исходную матрицу размера разобьем на четыре клетки где– подматрицы размеров Примем что матрица существует и может быть разбита на клетки так же как и матрица  те  где – подматрицы размеров Поскольку ,

то *= или

Пусть подматрица имеет обратную которая известна Тогда после небольших преобразований получим формулы которые могут быть последовательно решены относительно матриц :

(*)

Вычисление обратной матрицы реализуется с помощью метода окаймления Суть его заключается в следующем Пусть дана матрица



Образуем ; ; и тд

Каждая следующая матрица получена из предыдущей при помощи окаймления Обратная к первой из этих матриц находится непосредственно:  Зная и применив к схему вычислений (*) можно получить  а затем при помощи аналогично получитьи тд Процесс заканчивается матрицей  тк . Обращение можно начать и с правого нижнего угла матрицы.

Метод Ершова (метод пополнения)

На основе исходной матрицы и единичной матрицы строится последовательность матриц

; .

Матрица Матрицыявляются вспомогательными

Метод Фаддеева

Напомним что следом (spur) матрицы называется сумма ее элементов на главной диагонали: 

Вычисление обратной матрицы порядкапроизводится по следующим формулам:

Операции с векторами и матрицами в системе Mathcad

Векторы и матрицы можно задавать путем ввода их элементов. Для указания индексов после имени переменной вводится открывающая квадратная скобканапример при вводеувидим. Для задания векторов и матриц можно либо воспользоваться командойМатрицав менюВставкалибо нажатьлибо щелкнуть на кнопке с изображением шаблона матрицыа затем в диалоговом окне указать размер матрицы.

Для работы с векторами и матрицами система поддерживает ряд операций (- вектор- матрица- скаляр), сведенных в таблицу.

Таблица

Операция	Клавиши	Описание
		Сложение векторов и
		Смена знака у элементов матрицы
		Умножение матрицы на скаляр
		Умножение матрицы на вектор
		Умножение двух матриц
		Деление матрицы на скаляр
		Обращение матрицы
		Возведение матрицы в степень
		Вычисление определителя матрицы
		Транспонирование вектора
		Транспонирование матрицы

Векторные и матричные функции в системе Mathcad

- возвращает число элементов вектора

- объединяет в одну две матрицы с одинаковым числом строк (объединение “бок о бок”)

- объединяет в одну две матрицы с одинаковым числом столбцов (“сажая”на)

- создаёт единичную квадратную матрицу размером;

- возвращает подматрицусостоящую из всех элементовсодержащихся в строках отпои в столбцах спо();

- создаёт диагональную матрицуэлементы главной диагонали которой равны элементам вектора-столбца

- возвращает число столбцовстрок матрицы

- возвращает ранг матрицы

- возвращает след квадратной матрицы

- возвращает норму(-норму) матрицы

- возвращает нормуматрицы

- возвращает евклидову норму (- норму) матрицы

- возвращает неопределенную норму (- норму) матрицы

Пример работы с матричными операциями и функциями

_{Задание матрицы A с размерностью 23}

_{Транспонирование матрицы A}

_{Создание единичной матрицы и вычисление её следа}

_{Задание и обращение матрицы A}

_{Проверка правильности обращения матрицы A}

Умножение двух матриц

_{Задание квадратной матрицы и вычисление её определителя}

Сортировка матрицы по первому столбцу

Сортировка матрицы по первой строке