Контрольные вопросы

1. Какие виды нелинейных уравнений можно решать численными методами?

2. Расскажите об отделении корней, приведя иллюстрацию для своего задания. Как выбирается величина ?

3. Сравните методы деления пополам и хорд.

4. Сравните методы касательных и секущих.

5. Как перейти от уравнения к равносильному ему уравнению? Объясните алгоритм метода итераций.

6. Расскажите об условиях применения методов уточнения корней.

7. Как зависит в численных методах значение функции в корне от величины задаваемой ошибки?

8. Приведите примеры комбинации методов. Поясните их целесообразность.

9. Приведите алгоритмы для получения зависимостей затрат машинного времени от ошибки для методов в задании.

10. Объясните полученные результаты.

11. Как построить класс для выполнения задания? В каких файлах и как можно разместить объявление класса и его реализацию?

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ

Краткие сведения

Интерполяция – это нахождение по ряду данных значений функции промежуточных её значений. Экстраполяция позволяет найти значения функции вне интервала интерполяции. Исходными данными для решения задач интерполяции и экстраполяции являются значения таблично заданной функции:

			….		….
			….		….

Узлы интерполяции могут быть неравноотстоящими и равноотстоящими, где- шаг интерполяции.

Решением задачи интерполяции (экстраполяции) является интерполирующая (экстраполирующая) функция , удовлетворяющая условиям

1. Алгебраическая интерполяция

При алгебраической интерполяции интерполирующая функция может быть написана непосредственно по таблице значений в виде интерполяционного полинома Лагранжа -ой степени

Узлы интерполяции при этом могут быть как равноотстоящими, так и неравноотстоящими. Представленный полином позволяет выполнять прямую интерполяцию. По таблице можно написать также полином Лагранжа для обратной интерполяции

Для разработки алгоритмов полиномы удобнее представить в виде

Алгоритмы прямой и обратной интерполяций по полиномам Лагранжа представлены на рис.2.1 и 2.2.

Рис.2.1 – алгоритм прямой интерполяции по Лагранжу

Рис.2.2 – алгоритм обратной интерполяции по Лагранжу

2. Кусочно-линейная интерполяция

При кусочно-линейной интерполяции вычисление дополнительных точек выполняется по линейной зависимости. Графически это означает соединение узловых точек отрезками прямых (рис.2.3). При экстраполяции используются отрезки прямых, проведенных через две крайние точки.

Рис.2.3 – кусочно-линейная интерполяция и экстраполяция

При небольшом числе узлов (<10) кусочно-линейная интерполяция оказывается довольно грубой. При ней даже первая производная интерполирующей функции испытывает резкие скачки в узловых точках.

3. Сплайн-интерполяция

Гораздо лучшие результаты, по сравнению с кусочно-линейной, дает сплайн-интерполяция (splinе – гибкая линейка). Здесь исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов, т.е., рассчитываются так, чтобы первая и вторая производные были непрерывными. Линиякоторую описывает сплайн-функциянапоминает по форме гибкую линейкузакрепленную в узловых точках

4. Тригонометрическая интерполяция

Пусть функция задана на отрезкетаблицей значенийв равноотстоящих узлах

Тригонометрическим многочленом степени называют многочлен

Задача тригонометрической интерполяции состоит в построении тригонометрического интерполяционного многочлена наименьшей степениудовлетворяющего условиям

Решением этой задачи является тригонометрический многочлен

Рис.2.4 – алгоритм тригонометрической интерполяции

коэффициенты которого вычисляются по следующим формулам:

Широкие возможности тригонометрической интерполяции следуют из того фактачто с возрастаниеммногочленаппроксимируетс возрастающей точностьюЭто справедливо для достаточно широкого класса функцийЭтим тригонометрическая интерполяция существенно отличается от алгебраической интерполяции на системе равноотстоящих узловПри алгебраическом интерполировании разность между функциейи интерполяционным многочленом может быть как угодно большой всюдукроме узлов интерполяцииТригонометрическое интерполирование свободно от этого недостатка

Алгоритм тригонометрической интерполяции представлен на рис.2.4.